cinq fois dans les yeux

Fin 2020, plusieurs événements se sont tenus dans les universités et les écoles, reportés de... mars. L'un d'eux était la "célébration" du jour pi. A cette occasion, le 8 décembre, j'ai donné une conférence à distance à l'Université de Silésie, et cet article est un résumé de la conférence. Toute la fête a commencé à 9.42h10.28 et ma conférence est prévue pour 3h9,42. D'où vient une telle précision ? C'est simple : 2 fois pi vaut environ 9,88, et π à la puissance 9 vaut environ 88, et l'heure 10 puissance 28 vaut XNUMX puissance XNUMX...

La coutume d'honorer ce nombre, exprimant le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre et parfois appelée constante d'Archimède (ainsi que dans les cultures germanophones), vient des USA (voir également: ). 3.14 mars "à l'américaine" à 22h22, d'où l'idée. L'équivalent polonais pourrait être le 7 juillet car la fraction 14/XNUMX se rapproche bien de π, ce que… Archimède savait déjà. Eh bien, le XNUMX mars est le meilleur moment pour les événements parallèles.

Ces trois et quatorze centièmes sont l'un des rares messages mathématiques qui nous sont restés de l'école pour la vie. Tout le monde sait ce que cela signifie"cinq fois dans les yeux". C'est tellement ancré dans la langue qu'il est difficile de l'exprimer différemment et avec la même grâce. Lorsque j'ai demandé à l'atelier de réparation automobile combien la réparation pourrait coûter, le mécanicien y a réfléchi et a dit : "cinq fois environ huit cents zlotys". J'ai décidé de profiter de la situation. "Tu veux dire une approximation grossière ?". Le mécanicien a dû penser que j'avais mal entendu, alors il a répété: "Je ne sais pas exactement combien, mais cinq fois à l'œil serait 800."

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De quoi s'agit-il? L'orthographe d'avant la Seconde Guerre mondiale utilisait "non" ensemble, et je l'ai laissé là. Il ne s'agit pas ici d'une poésie trop pompeuse, bien que j'aime l'idée que « le navire d'or pompe le bonheur ». Demandez aux élèves : que signifie cette pensée ? Mais la valeur de ce texte est ailleurs. Le nombre de lettres dans les mots suivants sont les chiffres de l'extension pi. Voyons voir:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 XNUMX XNUMX XNUMX

En 1596, un savant néerlandais d'origine allemande Ludolph van Seulen calculé la valeur de pi à 35 décimales près. Ensuite, ces chiffres ont été gravés sur sa tombe. Elle a dédié un poème au nombre pi et à notre lauréat du prix Nobel, Vislava Shimborska. Szymborska était fascinée par la non-périodicité de ce nombre et le fait qu'avec une probabilité de 1 chaque séquence de chiffres, comme notre numéro de téléphone, s'y produirait. Alors que la première propriété est inhérente à tout nombre irrationnel (que nous devrions retenir de l'école), la seconde est un fait mathématique intéressant et difficile à prouver. Vous pouvez même trouver des applications qui proposent : donnez-moi votre numéro de téléphone et je vous dirai où il se trouve en pi.

Là où il y a de la rondeur, il y a du sommeil. Si nous avons un lac rond, marcher autour de celui-ci est 1,57 fois plus long que nager. Bien sûr, cela ne signifie pas que nous nagerons une fois et demie à deux fois moins vite que nous ne passerons. J'ai partagé le record du monde du 100 m avec le record du monde du 100 m. Fait intéressant, chez les hommes et les femmes, le résultat est presque le même et est de 4,9. Nous nageons 5 fois moins vite que nous ne courons. L'aviron est complètement différent - mais un défi intéressant. Il a une histoire assez longue.

Fuyant le méchant poursuivant, le beau et noble Bon a navigué vers le lac. Le méchant court le long du rivage et attend qu'elle le fasse atterrir. Bien sûr, il court plus vite que Dobry rame, et s'il court bien, Dobry est plus rapide. Ainsi, la seule chance pour Evil est d'obtenir Good depuis le rivage - un tir précis d'un revolver n'est pas une option, car. Le Bien a des informations précieuses que le Mal veut connaître.

Good adhère à la stratégie suivante. Il traverse le lac à la nage, se rapprochant progressivement du rivage, mais essayant toujours d'être du côté opposé au Malin, qui court au hasard vers la gauche, puis vers la droite. Ceci est montré dans la figure. Soit la position de départ d'Evil soit Z₁, et Dobre est le milieu du lac. Quand Zly se déplace vers Z₁, Dobro naviguera vers D.₁quand Bad est en Z₂, bien sur D₂. Il coulera en zigzag, mais en respectant la règle : le plus loin possible de Z. Cependant, comme il s'éloigne du centre du lac, le Bien doit se déplacer dans des cercles de plus en plus larges, et à un moment donné il ne peut pas adhérer au principe « être de l'autre côté du Mal ». Puis il rama de toutes ses forces jusqu'au rivage, espérant que le Malin ne contournerait pas le lac. Bon réussira-t-il ?

La réponse dépend de la vitesse à laquelle Good peut ramer par rapport à la valeur des jambes de Bad. Supposons que le Bad Man court à une vitesse s fois la vitesse du Good Man sur le lac. Par conséquent, le plus grand cercle, sur lequel le Bien peut ramer pour résister au Mal, a un rayon une fois plus petit que le rayon d'un lac. Donc, dans le dessin que nous avons. Au point W, notre Kind commence à ramer vers le rivage. Cela doit aller 

 avec rapidité

Il a besoin de temps.

Wicked poursuit tous ses meilleurs pieds. Il doit compléter la moitié du cercle, ce qui lui prendra des secondes ou des minutes, selon les unités choisies. Si c'est plus qu'une fin heureuse :

Le bon partira. Des comptes rendus simples montrent ce que cela devrait être. Si le Bad Man court plus vite que 4,14 fois le Good Man, ça ne se termine pas bien. Et là aussi, notre nombre pi intervient.

Ce qui est rond est beau. Regardons la photo de trois assiettes décoratives - je les ai après mes parents. Quelle est l'aire du triangle curviligne entre eux ? C'est une tâche simple; la réponse est sur la même photo. Nous ne sommes pas surpris qu'il apparaisse dans la formule - après tout, là où il y a de la rondeur, il y a pi.

J'ai utilisé un mot peut-être inconnu :. C'est le nom du nombre pi dans la culture germanophone, et tout cela grâce aux hollandais (en fait un allemand qui vivait aux Pays-Bas - la nationalité n'avait pas d'importance à cette époque), Ludolf de Seoulen... En 1596 g. il a calculé 35 chiffres de son expansion en décimal. Ce record a tenu jusqu'en 1853, date à laquelle Guillaume Rutherford comptait 440 places. Le détenteur du record pour les calculs manuels est (probablement pour toujours) William Shankqui, après de nombreuses années de travail, publia (en 1873) extension à 702 chiffres. Ce n'est qu'en 1946 que les 180 derniers chiffres se sont avérés incorrects, mais ils le sont restés. 527 correct. C'était intéressant de trouver le bug lui-même. Peu de temps après la publication du résultat de Shanks, ils ont soupçonné que "quelque chose n'allait pas" - il y avait étrangement peu de sept en développement. L'hypothèse encore non prouvée (décembre 2020) stipule que tous les chiffres devraient apparaître avec la même fréquence. Cela a incité D.T. Ferguson à réviser les calculs de Shanks et à trouver l'erreur "de l'apprenant" !

Plus tard, les calculatrices et les ordinateurs ont aidé les gens. Le détenteur du record actuel (décembre 2020) est Timothée Mullican (50 trillions de décimales). Les calculs ont pris ... 303 jours. Jouons : combien d'espace ce nombre prendrait, imprimé dans un livre standard. Jusqu'à récemment, le "côté" imprimé du texte était de 1800 caractères (30 lignes sur 60 lignes). Réduisons le nombre de caractères et les marges de page, enregistrons 5000 50 caractères par page et imprimons des livres de XNUMX pages. Donc, XNUMX billions de caractères prendraient dix millions de livres. Pas mal, non ?

La question est, quel est le but d'une telle lutte ? D'un point de vue purement économique, pourquoi le contribuable devrait-il payer pour un tel "divertissement" des mathématiciens ? La réponse n'est pas difficile. Première, de Seoulen blancs inventés pour les calculs, alors utile pour les calculs logarithmiques. Si on lui avait dit : s'il vous plaît, construisez des blancs, il aurait répondu : pourquoi ? De même commande :. Comme vous le savez, cette découverte n'était pas tout à fait accidentelle, mais néanmoins un sous-produit de recherches d'un autre type.

Deuxièmement, lisons ce qu'il écrit Timothée Mullican. Voici une reproduction du début de son œuvre. Le professeur Mullican travaille dans le domaine de la cybersécurité, et pi est un si petit passe-temps qu'il vient de tester son nouveau système de cybersécurité.

Et que 3,14159 en ingénierie est plus que suffisant, c'est une autre affaire. Faisons un calcul simple. Jupiter est à 4,774 Tm du Soleil (téramètre = 1012 mètres). Pour calculer la circonférence d'un tel cercle avec un tel rayon avec une précision absurde de 1 millimètre, il suffirait de prendre π = 3,1415926535897932.

La photo suivante montre un quart de cercle de briques Lego. J'ai utilisé 1774 pads et c'était environ 3,08 pi. Pas le meilleur, mais à quoi s'attendre? Un cercle ne peut pas être composé de carrés.

Exactement. Le nombre pi est connu pour être carré cercle - un problème mathématique qui attend sa solution depuis plus de 2000 ans - depuis l'époque grecque. Pouvez-vous utiliser un compas et une règle pour construire un carré dont l'aire est égale à l'aire du cercle donné ?

Le terme "carré d'un cercle" est entré dans la langue parlée comme symbole de quelque chose d'impossible. J'appuie sur la touche pour demander, est-ce une sorte de tentative pour combler le fossé d'hostilité qui sépare les citoyens de notre beau pays ? Mais j'évite déjà ce sujet, car je ne me sens probablement qu'en mathématiques.

Et encore la même chose - la solution au problème de la quadrature du cercle n'est pas apparue de telle manière que l'auteur de la solution, Charles Lindeman, en 1882, il a été créé et a finalement réussi. Dans une certaine mesure oui, mais c'était le résultat d'une attaque d'un large front. Les mathématiciens ont appris qu'il existe différents types de nombres. Pas seulement des nombres entiers, rationnels (c'est-à-dire des fractions) et irrationnels. L'incommensurabilité peut aussi être meilleure ou pire. Nous nous souvenons peut-être de l'école que le nombre irrationnel est √2, un nombre exprimant le rapport de la longueur de la diagonale d'un carré à la longueur de son côté. Comme tout nombre irrationnel, il a une extension indéfinie. Permettez-moi de vous rappeler que l'expansion périodique est une propriété des nombres rationnels, c'est-à-dire entiers privés :

Ici, la séquence de nombres 142857 se répète indéfiniment.Pour √2, cela ne se produira pas - cela fait partie de l'irrationalité. Mais tu peux:

(la fraction s'éternise). Nous voyons un modèle ici, mais d'un type différent. Pi n'est même pas si commun. Il ne peut pas être obtenu en résolvant une équation algébrique - c'est-à-dire une équation dans laquelle il n'y a ni racine carrée, ni logarithme, ni fonctions trigonométriques. Cela montre déjà qu'elle n'est pas constructible - tracer des cercles conduit à des fonctions quadratiques, et des droites - droites - à des équations du premier degré.

J'ai peut-être dévié de l'intrigue principale. Seul le développement de toutes les mathématiques a permis de revenir aux origines - aux belles mathématiques anciennes des penseurs qui ont créé pour nous la culture européenne de la pensée, si douteuse aujourd'hui par certains.

Parmi les nombreux modèles représentatifs, j'en ai choisi deux. Le premier d'entre eux que nous associons au nom de famille Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Mais il était connu (modèle, pas Leibniz) du savant hindou médiéval Madhava du Sangamagram (1350-1425). Le transfert d'informations à cette époque n'était pas génial - les connexions Internet étaient souvent boguées et il n'y avait pas de batteries pour les téléphones portables (car l'électronique n'avait pas encore été inventée !). La formule est belle, mais inutile pour les calculs. D'une centaine d'ingrédients, "seulement" 3,15159 est obtenu.

il va un peu mieux La formule de Viète (celui des équations quadratiques), et sa formule est facile à programmer car le terme suivant du produit est la racine carrée du précédent plus deux.

Nous savons que le cercle est rond. Nous pouvons dire qu'il s'agit d'un tour à 100%. Le mathématicien demandera : quelque chose ne peut-il pas être rond à 1 % ? Apparemment, c'est un oxymore, une phrase contenant une contradiction cachée, comme, par exemple, de la glace chaude. Mais essayons de mesurer à quel point les formes peuvent être rondes. Il s'avère qu'une bonne mesure est donnée par la formule suivante, dans laquelle S est l'aire et L est la circonférence de la figure. Découvrons que le cercle est vraiment rond, que le sigma est 6. L'aire du cercle est la circonférence. Nous insérons ... et voyons ce qui est juste. De combien est rond le carré ? Les calculs sont tout aussi simples, je ne les donnerai même pas. Prenons un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon. Le périmètre est évidemment XNUMX.

Pôle

Que diriez-vous d'un hexagone régulier? Sa circonférence est 6 et son aire

Nous avons donc

qui est approximativement égal à 0,952. L'hexagone est à plus de 95% "rond".

Un résultat intéressant est obtenu lors du calcul de la rotondité d'un stade de sport. Selon les règles de l'IAAF, les lignes droites et les courbes doivent mesurer 40 mètres de long, bien que des déviations soient autorisées. Je me souviens que le stade Bislet d'Oslo était étroit et long. J'écris "était" parce que j'ai même couru dessus (pour un amateur!), Mais il y a plus de XNUMX ans. Jetons un coup d'œil :

Si l'arc a un rayon de 100 mètres, le rayon de cet arc est de mètres. La superficie de la pelouse est de mètres carrés et la zone à l'extérieur (où il y a des tremplins) totalise des mètres carrés. Branchons ceci dans la formule :

La rondeur d'un stade a-t-elle quelque chose à voir avec un triangle équilatéral ? Parce que la hauteur d'un triangle équilatéral est le même nombre de fois le côté. C'est une coïncidence aléatoire de nombres, mais c'est sympa. Je l'aime bien. Et les lecteurs ?

Eh bien, c'est bien qu'il soit rond, même si certains pourraient s'y opposer car le virus qui nous affecte tous est rond. Du moins c'est comme ça qu'ils le dessinent.