charme inversé

On parle beaucoup du "charme des contraires", et pas seulement en mathématiques. Rappelez-vous que les nombres opposés sont ceux qui ne diffèrent que par leur signe : plus 7 et moins 7. La somme des nombres opposés est zéro. Mais pour nous (c'est-à-dire les mathématiciens), les réciproques sont plus intéressantes. Si le produit des nombres est égal à 1, alors ces nombres sont inverses l'un de l'autre. Chaque nombre a son opposé, chaque nombre non nul a son inverse. L'inverse de l'inverse est la graine.

L'inversion se produit partout où deux quantités sont liées l'une à l'autre de sorte que si l'une augmente, l'autre diminue à un taux correspondant. "Pertinent" signifie que le produit de ces quantités ne change pas. On se souvient de l'école : c'est une proportion inverse. Si je veux arriver à destination deux fois plus vite (c'est-à-dire réduire le temps de moitié), je dois doubler ma vitesse. Si le volume d'un récipient scellé contenant du gaz est réduit de n fois, sa pression augmentera de n fois.

Dans l'enseignement primaire, nous distinguons soigneusement les comparaisons différentielles et relatives. "Combien en plus"? – « Combien de fois plus ?

Voici quelques activités scolaires :

Tâche 1. Des deux valeurs positives, la première est 5 fois supérieure à la seconde et en même temps 5 fois supérieure à la première. Quelles sont les dimensions?

Tâche 2. Si un nombre est 3 plus grand que le second et que le second est 2 plus grand que le troisième, de combien le premier nombre est-il plus grand que le troisième ? Si le premier nombre positif est le double du second et que le premier nombre est le triple du troisième, combien de fois le premier nombre est-il plus grand que le troisième ?

Tâche 3. Dans la tâche 2, seuls les nombres naturels sont autorisés. Un tel arrangement tel qu'il y est décrit est-il possible?

Tâche 4. Des deux valeurs positives, la première est 5 fois la seconde et la seconde est 5 fois la première. Est-il possible?

Le concept de "moyenne" ou "moyenne" semble très simple. Si je pédalais 55 km le lundi, 45 km le mardi et 80 km le mercredi, je pédalais en moyenne 60 km par jour. Nous sommes tout à fait d'accord avec ces calculs, même s'ils sont un peu étranges car je n'ai pas parcouru 60 km en une journée. On accepte tout aussi facilement les parts d'une personne : si deux cents personnes fréquentent un restaurant en six jours, alors le tarif journalier moyen est de 33 personnes et un tiers. HM !

Il n'y a des problèmes qu'avec la taille moyenne. J'aime faire du vélo. J'ai donc profité de l'offre de l'agence de voyage "Allons-y avec nous" - ils livrent les bagages à l'hôtel, où le client fait du vélo à des fins récréatives. Vendredi, j'ai roulé pendant quatre heures : les deux premières à une vitesse de 24 km/h. Puis je me suis tellement fatigué que pour les deux suivants à raison de seulement 16 par heure. Quelle était ma vitesse moyenne ? Bien sûr (24+16)/2=20km=20km/h.

Samedi, cependant, les bagages ont été laissés à l'hôtel, et je suis allé voir les ruines du château, qui se trouve à 24 km, et après les avoir vues, je suis revenu. J'ai roulé une heure dans un sens, je suis revenu plus lentement, à une vitesse de 16 km/h. Quelle était ma vitesse moyenne sur le trajet hôtel-château-hôtel ? 20 km/h ? Bien sûr que non. Après tout, j'ai parcouru un total de 48 km et il m'a fallu une heure ("aller") et une heure et demie retour. 48 km en deux heures et demie, soit heure 48/2,5=192/10=19,2km ! Dans cette situation, la vitesse moyenne n'est pas la moyenne arithmétique, mais l'harmonique des valeurs données :

et cette formule à deux étages peut être lue comme suit : la moyenne harmonique des nombres positifs est l'inverse de la moyenne arithmétique de leur inverse. L'inverse de la somme des inverses apparaît dans de nombreux chœurs de devoirs scolaires: si un travailleur creuse des heures, l'autre - b heures, puis, travaillant ensemble, ils creusent à temps. piscine d'eau (une par heure, l'autre à b heures). Si une résistance a R1 et l'autre a R2, alors elles ont une résistance parallèle. 

Si un ordinateur peut résoudre un problème en quelques secondes, un autre ordinateur en b secondes, alors quand ils travaillent ensemble...

Arrêter! C'est là que s'arrête l'analogie, car tout dépend de la vitesse du réseau : l'efficacité des connexions. Les travailleurs peuvent également se gêner ou s'entraider. Si un homme peut creuser un puits en huit heures, quatre-vingts ouvriers peuvent-ils le faire en 1/10 d'heure (ou 6 minutes) ? Si six porteurs amènent le piano au premier étage en 6 minutes, combien de temps faudra-t-il à l'un d'entre eux pour livrer le piano au soixantième étage ? L'absurdité de tels problèmes rappelle l'applicabilité limitée de toutes les mathématiques aux problèmes "de la vie".

À propos d'un vendeur puissant 

Les échelles ne sont plus utilisées. Rappelez-vous qu'un poids était placé sur un bol de ces balances et que les marchandises pesées étaient placées sur l'autre, et lorsque le poids était en équilibre, les marchandises pesaient autant que le poids. Bien sûr, les deux bras de la charge de poids doivent être de la même longueur, sinon la pesée sera incorrecte.

Ah d'accord. Imaginez un vendeur qui a un poids avec un effet de levier inégal. Cependant, il veut être honnête avec les clients et pèse les marchandises en deux lots. Tout d'abord, il place un poids sur un plateau et sur l'autre une quantité correspondante de marchandises - de sorte que la balance soit en équilibre. Ensuite, il pèse la deuxième "moitié" des marchandises dans l'ordre inverse, c'est-à-dire qu'il met le poids sur le deuxième bol et les marchandises sur le premier. Puisque les mains sont inégales, les "moitiés" ne sont jamais égales. Et la conscience du vendeur est claire, et les acheteurs louent son honnêteté: "Ce que j'ai enlevé ici, je l'ai ensuite ajouté."

Cependant, regardons de plus près le comportement d'un vendeur qui se veut honnête malgré le poids précaire. Soit les bras de la balance des longueurs a et b. Si l'un des bols est chargé d'un poids en kilogrammes et l'autre de x marchandises, alors la balance est en équilibre si ax = b la première fois et bx = a la deuxième fois. Ainsi, la première partie de la marchandise est égale à b / a kilogramme, la deuxième partie est a / b. Un bon poids a a = b, donc l'acheteur recevra 2 kg de marchandises. Voyons ce qui se passe quand a ≠ b. Alors a - b ≠ 0 et à partir de la formule de multiplication réduite, nous avons

Nous sommes arrivés à un résultat inattendu : la méthode apparemment juste de "faire la moyenne" de la mesure dans ce cas fonctionne à l'avantage de l'acheteur, qui reçoit plus de marchandises.

Tâche 5. (Important, en aucun cas en mathématiques !). Un moustique pèse 2,5 milligrammes et un éléphant cinq tonnes (ce sont des données tout à fait correctes). Calculez la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique des masses (poids) des moustiques et des éléphants. Vérifiez les calculs et voyez s'ils ont un sens en plus des exercices d'arithmétique. Regardons d'autres exemples de calculs mathématiques qui n'ont pas de sens dans la "vraie vie". Conseil : nous avons déjà examiné un exemple dans cet article. Est-ce à dire qu'un étudiant anonyme dont j'ai trouvé l'opinion sur Internet avait raison : « Les maths trompent les gens avec les chiffres » ?

Oui, je suis d'accord que dans la grandeur des mathématiques, vous pouvez "tromper" les gens - une publicité pour un shampooing sur deux dit qu'elle augmente le duvet d'un certain pourcentage. Allons-nous chercher d'autres exemples d'outils quotidiens utiles qui peuvent être utilisés pour des activités criminelles ?

Grammes !

Le titre de ce passage est un verbe (première personne du pluriel) et non un nom (nominatif pluriel d'un millième de kilogramme). L'harmonie implique l'ordre et la musique. Pour les Grecs de l'Antiquité, la musique était une branche de la science - il faut admettre que si nous le disons, nous transférons le sens actuel du mot "science" à l'époque antérieure à notre ère. Pythagore vivait au XVIe siècle avant J.-C. Non seulement il ne connaissait pas l'ordinateur, le téléphone portable et le courrier électronique, mais il ne savait pas non plus qui étaient Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne et Cicéron. Il ne connaissait ni les chiffres arabes ni même les chiffres romains (ils sont entrés en usage vers le Ve siècle av. J.-C.), il ne savait pas ce qu'étaient les guerres puniques... Mais il connaissait la musique...

Il savait que sur les instruments à cordes, les coefficients de vibration étaient inversement proportionnels à la longueur des parties vibrantes des cordes. Il savait, il savait, il ne pouvait tout simplement pas l'exprimer comme nous le faisons aujourd'hui.

Les fréquences des vibrations des deux cordes qui composent une octave sont dans un rapport de 1:2, c'est-à-dire que la fréquence de la note la plus haute est le double de la fréquence de la note la plus basse. Le rapport de vibration correct pour la quinte est de 2:3, la quatrième est de 3:4, la tierce majeure pure est de 4:5, la tierce mineure est de 5:6. Ce sont des intervalles de consonnes agréables. Ensuite, il y en a deux neutres, avec des rapports de vibration de 6: 7 et 7: 8, puis des dissonants - un gros ton (8: 9), un petit ton (9: 10). Ces fractions (rapports) sont comme les rapports des membres successifs d'une séquence que les mathématiciens (pour cette raison même) appellent la série harmonique :

est une somme théoriquement infinie. Le rapport des oscillations de l'octave peut être écrit comme 2:4 et mettre un cinquième entre eux : 2:3:4, c'est-à-dire que nous diviserons l'octave en un cinquième et un quart. C'est ce qu'on appelle la division de segment harmonique en mathématiques :

Riz. 1. Pour un musicien : diviser l'octave AB en quinte AC.Pour mathématicien : segmentation harmonique

Qu'est-ce que je veux dire quand je parle (ci-dessus) d'une somme théoriquement infinie, telle que la série harmonique ? Il s'avère qu'une telle somme peut être n'importe quel grand nombre, l'essentiel est que nous ajoutions pendant longtemps. Il y a de moins en moins d'ingrédients, mais il y en a de plus en plus. Qu'est-ce qui prévaut ? Nous entrons ici dans le domaine de l'analyse mathématique. Il s'avère que les ingrédients s'épuisent, mais pas très rapidement. Je vais montrer qu'en prenant suffisamment d'ingrédients, je peux résumer :

arbitrairement grand. Prenons "par exemple" n = 1024. Regroupons les mots comme indiqué sur la figure :

Dans chaque parenthèse, chaque mot est plus grand que le précédent, sauf, bien sûr, le dernier, qui est égal à lui-même. Dans les parenthèses suivantes, nous avons 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 et 512 composants ; la valeur de la somme entre parenthèses est supérieure à ½. Tout cela est plus que 5½. Des calculs plus précis montreraient que ce montant est d'environ 7,50918. Pas beaucoup, mais toujours, et vous pouvez voir qu'en prenant n'importe quel gros, je peux surpasser n'importe quel nombre. Celui-ci est incroyablement lent (par exemple, nous en arrivons au top dix avec des ingrédients seuls), mais la croissance infinie a toujours fasciné les mathématiciens.

Voyage à l'infini avec la série harmonique

Voici un casse-tête pour des mathématiques assez sérieuses. Nous avons une offre illimitée de blocs rectangulaires (que puis-je dire, rectangulaires !) avec des dimensions, disons, 4 × 2 × 1. Considérons un système composé de plusieurs (sur figue. 2 - quatre) blocs, disposés de manière à ce que le premier soit incliné de ½ de sa longueur, le deuxième d'en haut de ¼ et ainsi de suite, le troisième d'un sixième. Eh bien, peut-être que pour le rendre vraiment stable, inclinons un peu moins la première brique. Peu importe pour les calculs.

Riz. 2. Détermination du centre de gravité

Il est également aisé de comprendre que puisque la figure composée des deux premiers blocs (en partant du haut) a un centre de symétrie au point B, alors B est le centre de gravité. Définissons géométriquement le centre de gravité du système, composé des trois blocs supérieurs. Un argument très simple suffit ici. Divisons mentalement la composition à trois blocs en deux blocs supérieurs et un troisième inférieur. Ce centre doit se situer sur la section reliant les centres de gravité des deux pièces. A quel moment de cet épisode ?

Il existe deux façons de désigner. Dans la première, nous utiliserons l'observation que ce centre doit se situer au milieu de la pyramide à trois blocs, c'est-à-dire sur une droite coupant le deuxième bloc du milieu. Dans la deuxième façon, on comprend que puisque les deux blocs supérieurs ont une masse totale de deux fois celle d'un seul bloc #3 (haut), le centre de gravité sur cette section doit être deux fois plus proche de B que du centre S du troisième bloc. De même, nous trouvons le point suivant : nous connectons le centre trouvé des trois blocs avec le centre S du quatrième bloc. Le centre de tout le système est à la hauteur 2 et au point qui divise le segment par 1 à 3 (c'est-à-dire par les ¾ de sa longueur).

Les calculs que nous allons effectuer un peu plus loin conduisent au résultat représenté sur la Fig. figure 3. Les centres de gravité consécutifs sont supprimés du bord droit du bloc inférieur par :

Ainsi, la projection du centre de gravité de la pyramide est toujours à l'intérieur de la base. La tour ne s'effondrera pas. Regardons maintenant figue. 3 et pour un instant, utilisons le cinquième bloc à partir du haut comme base (celui marqué de la couleur la plus claire). Haut incliné :

ainsi, son bord gauche est 1 plus loin que le bord droit de la base. Voici la prochaine balançoire :

Quelle est la plus grande balançoire ? Nous savons déjà! Il n'y a pas de plus grand ! En prenant même les plus petits blocs, vous pouvez obtenir un surplomb d'un kilomètre - malheureusement, uniquement mathématiquement : la Terre entière ne suffirait pas pour construire autant de blocs !

Riz. 3. Ajouter plus de blocs

Maintenant, les calculs que nous avons laissés ci-dessus. Nous calculerons toutes les distances "horizontalement" sur l'axe des x, car c'est tout ce qu'il y a à faire. Le point A (le centre de gravité du premier bloc) est à 1/2 du bord droit. Le point B (le centre du système à deux blocs) est à 1/4 du bord droit du deuxième bloc. Laissez le point de départ être la fin du deuxième bloc (nous allons maintenant passer au troisième). Par exemple, où se trouve le centre de gravité du seul bloc #3 ? La moitié de la longueur de ce bloc est donc à 1/2 + 1/4 = 3/4 de notre point de référence. Où est le point C ? Dans les deux tiers du segment entre 3/4 et 1/4, c'est-à-dire au point avant, nous changeons le point de référence sur le bord droit du troisième bloc. Le centre de gravité du système à trois blocs est maintenant retiré du nouveau point de référence, et ainsi de suite. Centre de gravité C_n une tour composée de n blocs est à 1/2n du point de référence instantané, qui est le bord droit du bloc de base, c'est-à-dire le nième bloc à partir du sommet.

Puisque la série d'inverses diverge, nous pouvons obtenir n'importe quelle grande variation. Cela pourrait-il réellement être mis en œuvre ? C'est comme une tour de briques sans fin - tôt ou tard, elle s'effondrera sous son propre poids. Dans notre schéma, les inexactitudes minimales dans le placement des blocs (et la lente augmentation des sommes partielles de la série) signifient que nous n'irons pas très loin.