Lem, Tokarchuk, Cracovie, mathématiques

Du 3 au 7 septembre 2019, le congrès anniversaire de la Société mathématique polonaise a eu lieu à Cracovie. Anniversaire, car le centenaire de la fondation de la Société. Il existait en Galice dès les premières années (sans l'adjectif que le libéralisme polonais de l'empereur FJ1 avait ses limites), mais en tant qu'organisation nationale, il n'a fonctionné qu'à partir de 1919. Les avancées majeures des mathématiques polonaises remontent aux années 1919 1939-XNUMX. XNUMX à l'Université Jan Casimir de Lviv, mais la convention n'a pas pu y avoir lieu - et ce n'est pas non plus la meilleure idée.

La réunion a été très festive, pleine d'événements d'accompagnement (dont une performance de Jacek Wojcicki au château de Niepolomice). Les conférences principales ont été prononcées par 28 intervenants. Ils étaient en polonais parce que les invités étaient des Polonais - pas nécessairement dans le sens de la citoyenneté, mais se reconnaissant comme Polonais. Oh oui, seuls treize conférenciers venaient d'institutions scientifiques polonaises, les quinze autres venaient des États-Unis (7), de France (4), d'Angleterre (2), d'Allemagne (1) et du Canada (1). Eh bien, c'est un phénomène bien connu dans les ligues de football.

Les meilleurs se produisent constamment à l'étranger. C'est un peu triste, mais la liberté est la liberté. Plusieurs mathématiciens polonais ont fait des carrières à l'étranger inaccessibles en Pologne. L'argent joue ici un rôle secondaire, mais je ne veux pas écrire sur de tels sujets. Peut-être juste deux commentaires.

En Russie, et avant cela en Union soviétique, c'était et c'est au niveau le plus conscient ... et d'une manière ou d'une autre, personne ne veut émigrer là-bas. À leur tour, en Allemagne, une douzaine de candidats postulent pour un poste de professeur dans n'importe quelle université (des collègues de l'Université de Constance ont déclaré avoir reçu 120 candidatures en un an, dont 50 très bonnes et 20 excellentes).

Peu de conférences du Congrès du Jubilé peuvent être résumées dans notre journal mensuel. Des titres tels que "Limites des graphes clairsemés et leurs applications" ou "Structure linéaire et géométrie des sous-espaces et des espaces factoriels pour les espaces normalisés de grande dimension" ne diront rien au lecteur moyen. Le deuxième sujet a été introduit par mon ami des premiers cours, Nicole Tomchak.

Il y a quelques années, elle a été nominée pour la réalisation présentée dans cette conférence. Médaille Fields est l'équivalent pour les mathématiciens. Jusqu'à présent, une seule femme a reçu ce prix. A noter également la conférence Anna Marcinyak-Chohra (Université de Heidelberg) "Le rôle des modèles mathématiques mécanistes en médecine sur l'exemple de la modélisation de la leucémie".

entré en médecine. A l'Université de Varsovie, un groupe dirigé par le Prof. Jerzy Tyurin.

Le titre de la conférence sera incompréhensible pour les lecteurs Veslava Niziol (z prestiżowej École pédagogique supérieure) “-théorie adique de Hodge". Néanmoins, c'est cette conférence que j'ai décidé de traiter ici.

Géométrie -mondes adiques

Cela commence par de petites choses simples. Te souviens-tu, Lecteur, de la méthode d'échange écrit ? Absolument. Repensez aux années insouciantes de l'école primaire. Divisez 125051 par 23 (c'est l'action à gauche). Savez-vous qu'il peut en être autrement (action à droite) ?

Cette nouvelle méthode est intéressante. Je vais de la fin. Nous devons diviser 125051 par 23. Par quoi devons-nous multiplier 23 pour que le dernier chiffre soit 1 ? Rechercher en mémoire et avoir :=7. Le dernier chiffre du résultat est 7. Multipliez, soustrayez, nous obtenons 489. Comment multipliez-vous 23 pour obtenir 9 ? Bien sûr, par 3. Nous arrivons au point où nous déterminons tous les nombres du résultat. Nous trouvons cela peu pratique et plus difficile que notre méthode habituelle - mais c'est une question de pratique !

Les choses prennent une tournure différente lorsque le brave homme n'est pas complètement divisé par le diviseur. Faisons la division et voyons ce qui se passe.

Sur la gauche se trouve une piste scolaire typique. A droite se trouve "nos étranges".

Nous pouvons vérifier les deux résultats en multipliant. On comprend le premier : un tiers du nombre 4675 est mille cinq cent cinquante huit, et trois dans la période. La seconde n'a pas de sens : quel est ce nombre précédé d'un nombre infini de six puis 8225 ?

Laissons un instant la question du sens. Jouons. Divisons donc 1 par 3, puis 1 par 7, soit un tiers et un septième. On obtient facilement :

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Cette dernière ligne signifie : le bloc 285714 se répète indéfiniment au début, et finalement il y en a trois. Pour ceux qui ne croient pas, voici un test :

Ajoutons maintenant des fractions :

Ensuite, nous ajoutons les nombres étranges reçus et nous obtenons (vérifions) le même nombre étrange.

......95238095238095238095238010

On peut vérifier que celle-ci est égale à

L'essentiel reste à voir, mais l'arithmétique est correcte.

Encore un exemple.

Le nombre habituel, bien que grand, 40081787109376 a une propriété intéressante : son carré se termine également par 40081787109376. le numéro x40081787109376, qui est ( x40081787109376)² se termine également par x40081787109376.

Pointe. Nous avons 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, donc le chiffre suivant est le complément de trois à dix, soit 7. Vérifions : 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

La question de savoir pourquoi il en est ainsi est difficile. C'est plus simple: trouvez des terminaisons similaires pour les nombres se terminant par 5. En poursuivant indéfiniment le processus de recherche des chiffres suivants, nous arriverons à de tels "nombres" qui ²=²= (et aucun de ces nombres n'est égal à zéro ou un).

nous comprenons bien. Plus la virgule est éloignée, moins le nombre est important. Dans les calculs d'ingénierie, le premier chiffre après la virgule est important, ainsi que le second, mais dans de nombreux cas, on peut supposer que le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre est de 3,14. Bien sûr, il faut inclure plus de chiffres dans l'industrie aéronautique, mais je ne pense pas qu'il y en aura plus de dix.

Le nom apparaissait dans le titre de l'article Stanislav Lem (1921-2006), ainsi que notre nouveau lauréat du prix Nobel. Dame Olga Tokarchuk Je n'ai mentionné cela que parce que crier l'injusticeLe fait est que Stanislav Lem n'a pas reçu le prix Nobel de littérature. Mais ce n'est pas dans notre coin.

Lem prévoyait souvent l'avenir. Il se demandait ce qui se passerait lorsqu'ils deviendraient indépendants des humains. Combien de films sur ce sujet sont apparus dernièrement ! Lem a prédit et décrit assez précisément le lecteur optique et la pharmacologie du futur.

Il connaissait les mathématiques, même s'il les traitait parfois comme un ornement, sans se soucier de l'exactitude des calculs. Par exemple, dans l'histoire "Trial", le pilote de Pirks se met en orbite B68 avec une période de rotation de 4 heures et 29 minutes, et l'instruction est de 4 heures et 26 minutes. Il se souvient qu'ils ont calculé avec une erreur de 0,3 %. Il donne les données au calculateur, et le calculateur répond que tout va bien... Eh bien, non. Trois dixièmes de pour cent de 266 minutes, c'est moins d'une minute. Mais est-ce que cette erreur change quelque chose ? C'était peut-être fait exprès ?

Pourquoi est-ce que j'écris à ce sujet ? De nombreux mathématiciens se sont également posé cette question : imaginez une communauté. Ils n'ont pas notre esprit humain. Pour nous, 1609,12134 et 1609,23245 sont des nombres très proches - de bonnes approximations du mile anglais. Cependant, les ordinateurs peuvent considérer que les nombres 468146123456123456 et 9999999123456123456 sont proches. Ils ont les mêmes terminaisons à douze chiffres.

Plus les chiffres sont communs à la fin, plus les chiffres sont proches. Et cela conduit à la soi-disant distance -adique. Soit p égal à 10 un instant ; pourquoi juste "pour un moment", je vais vous expliquer ... maintenant. La distance de 10 points des nombres écrits ci-dessus est 

ou un millionième - parce que ces nombres ont six chiffres communs à la fin. Tous les nombres entiers diffèrent de zéro par un ou moins. Je n'écrirai même pas de modèle car cela n'a pas d'importance. Plus les chiffres sont identiques à la fin, plus les chiffres sont proches (pour une personne, au contraire, les chiffres initiaux sont pris en compte). Il est important que p soit un nombre premier.

Ensuite - ils aiment les zéros et les uns, alors ils voient tout dans ces modèles : 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

Dans le roman Glos Pana, Stanisław Lem engage des scientifiques pour essayer de lire un message envoyé de l'au-delà, codé zéro-un bien sûr. Est-ce que quelqu'un nous écrit? Lem soutient que "n'importe quel message peut être lu s'il s'agit d'un message que quelqu'un voulait nous dire quelque chose". Mais est-ce? Je laisserai les lecteurs avec ce dilemme.

Nous vivons dans l'espace XNUMXD R³. Lettre R rappelle que les axes sont constitués de nombres réels, c'est-à-dire entiers, négatifs et positifs, nuls, rationnels (c'est-à-dire fractions) et irrationnels, que les lecteurs ont rencontrés à l'école (), et de nombres dits transcendants, inaccessibles en algèbre (c'est le nombre π , qui relie le diamètre d'un cercle à sa circonférence depuis plus de deux mille ans).

Et si les axes de notre espace étaient des nombres -adiques ?

Jerzy Mioduszowski, mathématicien à l'Université de Silésie, soutient qu'il pourrait en être ainsi, et même qu'il pourrait en être ainsi. On peut (dit Jerzy Mioduszewski) occuper la même place dans l'espace avec de tels êtres, sans interférer et sans se voir.

Nous avons donc toute la géométrie de "leur" monde à explorer. Il est peu probable qu'« ils » pensent de nous de la même manière et étudient également notre géométrie, car le nôtre est un cas limite de tous « leurs » mondes. "Eux", c'est-à-dire tous les mondes infernaux, où ce sont des nombres premiers. En particulier, = 2 et ce monde fascinant du zéro-un...

Ici, le lecteur de l'article peut se mettre en colère et même en colère. « Est-ce le genre de bêtises que font les mathématiciens ? Ils rêvent de boire de la vodka après le dîner et d'utiliser mon argent (= celui du contribuable). Et dispersez-les aux quatre vents, qu'ils aillent dans des fermes d'État... oh, il n'y a plus de fermes d'État !

Relaxer. ils ont toujours eu un penchant pour ces plaisanteries. Permettez-moi de mentionner le théorème du sandwich : si j'ai un sandwich au fromage et au jambon, je peux le couper en une seule coupe pour réduire de moitié le pain, le jambon et le fromage. Ceci est inutile en pratique. Le fait est qu'il ne s'agit que d'une application ludique d'un théorème général intéressant de l'analyse fonctionnelle.

Dans quelle mesure est-il sérieux de traiter les nombres -adiques et la géométrie associée ? Permettez-moi de rappeler au lecteur que les nombres rationnels (de manière simpliste : les fractions) se trouvent densément sur la ligne, mais ne la remplissent pas étroitement.

Les nombres irrationnels vivent dans des "trous". Il y en a beaucoup, une infinité, mais on peut aussi dire que leur infinité est plus grande que celle des plus simples, dans lesquelles on compte : un, deux, trois, quatre... et ainsi de suite jusqu'à ∞. C'est notre comblement humain des "trous". Nous avons hérité cette structure mentale de pythagoriciens. 

Mais ce qui est intéressant et important pour un mathématicien, c'est qu'on ne peut pas "remplir" ces trous avec des nombres irrationnels et p-adiques (pour tous nombres premiers p). Pour les lecteurs qui comprennent cela (et cela a été enseigné dans tous les lycées il y a trente ans), le fait est que chaque séquence qui satisfait L'état de Cauchy, converge.

Un espace dans lequel cela est vrai est appelé complet ("il ne manque rien"). Je retiendrai le numéro 547721051611007740081787109376.

La séquence 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 et ainsi de suite converge vers une certaine limite, qui est d'environ 0,5477210516110077400 81787109376.

Cependant, du point de vue de la distance 10-adique, la séquence des nombres 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 et ainsi de suite converge également vers le nombre "étrange" ... 547721051 611007740081787109376.

Mais même cela n'est peut-être pas une raison suffisante pour donner aux scientifiques des fonds publics. En général, nous (mathématiciens) nous défendons en disant qu'il est impossible de prédire à quoi serviront nos recherches. Il est presque certain que tout le monde sera utile et que seule une action sur un large front a une chance de succès.

L'une des plus grandes inventions, la machine à rayons X, a été créée après la découverte accidentelle de la radioactivité becquerel. Sans ce cas, de nombreuses années de recherche auraient probablement été inutiles. "Nous cherchons un moyen de prendre une radiographie du corps humain."

Enfin, le plus important. Tout le monde s'accorde à dire que la capacité à résoudre des équations joue un rôle. Et ici nos chiffres étranges sont bien protégés. Le théorème correspondant (je déteste minkowski) dit que certaines équations peuvent être résolues en nombres rationnels si et seulement si elles ont des racines réelles et des racines dans chaque corps -adique.

Plus ou moins cette approche a été présentée Andrew Wilès, qui a résolu l'équation mathématique la plus célèbre des trois cents dernières années - je recommande aux lecteurs de la saisir dans un moteur de recherche "Le dernier théorème de Fermat".