Équations, codes, chiffres, mathématiques et poésie

Michal Shurek dit de lui-même : « Je suis né en 1946. J'ai obtenu mon diplôme de l'Université de Varsovie en 1968 et depuis lors, je travaille à la Faculté de mathématiques, d'informatique et de mécanique. Spécialité scientifique : géométrie algébrique. J'ai récemment traité des bundles vectoriels. Qu'est-ce qu'un faisceau vectoriel ? Ainsi, les vecteurs doivent être étroitement liés avec un fil, et nous en avons déjà un tas. Mon ami physicien Anthony Sim m'a fait rejoindre le Jeune Technicien (il admet qu'il devrait toucher des redevances sur mes honoraires). J'ai écrit quelques articles puis je suis resté, et depuis 1978 on peut lire tous les mois ce que je pense des mathématiques. J'aime la montagne et malgré mon surpoids, j'essaie de marcher. Je pense que les enseignants sont les plus importants. Je garderais les politiciens, quelles que soient leurs options, dans une zone fortement gardée afin qu'ils ne puissent pas s'échapper. Nourrissez une fois par jour. Un beagle de Tulek m'aime bien.

Une équation est comme un chiffre pour un mathématicien. La résolution d'équations, la quintessence des mathématiques, est la lecture d'un texte chiffré. Cela a été remarqué par les théologiens depuis le XVIe siècle. Jean-Paul II, qui connaissait les mathématiques, l'a écrit et mentionné plusieurs fois dans ses sermons - malheureusement, les faits ont été effacés de ma mémoire.

Dans les sciences scolaires, il est représenté Pythagore comme l'auteur du théorème sur une certaine dépendance dans un triangle rectangle. C'est donc devenu une partie de notre philosophie eurocentrique. Et pourtant Pythagore a bien plus de vertus. C'est lui qui a imposé à ses élèves le devoir de « connaître le monde », de « qu'y a-t-il derrière cette colline ? avant d'étudier les étoiles. C'est pourquoi les Européens ont "découvert" les civilisations anciennes, et non l'inverse.

Certains lecteurs se souviennentMotifs Vièteet"; de nombreux lecteurs plus âgés se souviennent du terme lui-même à l'école et approximativement du fait que la question apparaissait dans des équations quadratiques. Ces régularités sont « idéologiquement » Cryptage informations.

Pas étonnant François Viété (1540-1603) s'est engagé dans la cryptographie à la cour d'Henri IV (le premier roi français de la dynastie des Bourbons, 1553-1610) et a réussi à briser le chiffrement utilisé par les Britanniques dans la guerre avec la France. Il a donc joué le même rôle que les mathématiciens polonais (dirigés par Marian Rejewski), qui ont découvert les secrets de la machine de chiffrement allemande Enigma avant la Seconde Guerre mondiale.

thème de la mode

Exactement. Le sujet "codes et chiffres" est depuis longtemps devenu à la mode dans l'enseignement. J'ai déjà écrit plusieurs fois à ce sujet, et dans deux mois, il y aura une autre série. Cette fois, j'écris sous l'impression d'un film sur la guerre de 1920, où la victoire était en grande partie due à la rupture du code des troupes bolcheviques par une équipe dirigée par le jeune alors Vaclav Sierpinski (1882-1969). Non, ce n'est pas encore Enigma, c'est juste une introduction. Je me souviens d'une scène du film où Józef Piłsudski (joué par Daniil Olbrychski) dit au chef du département de chiffrement :

Les messages décodés portaient un message important : les troupes de Toukhatchevski ne recevraient aucun soutien. Vous pouvez attaquer !

Je connaissais Vaclav Sierpinski (si je puis dire : j'étais un jeune étudiant, c'était un professeur renommé), j'assistais à ses conférences et à ses séminaires. Il donnait l'impression d'un savant flétri, distrait, occupé par sa discipline et ne voyant pas l'autre monde. Il a donné des conférences spécifiques, face au tableau noir, sans regarder l'auditoire... mais il se sentait comme un spécialiste hors pair. D'une manière ou d'une autre, il avait certaines capacités mathématiques - par exemple, pour résoudre des problèmes. Il y en a d'autres - des scientifiques qui sont relativement mauvais pour résoudre des énigmes, mais qui ont une compréhension profonde de toute la théorie et sont capables d'initier des champs entiers de créativité. Nous avons besoin des deux - même si le premier ira plus vite.

Vaclav Sierpinski n'a jamais parlé de ses réalisations en 1920. Jusqu'en 1939, cela devait définitivement être gardé secret, et après 1945, ceux qui se sont battus avec la Russie soviétique n'ont pas bénéficié de la sympathie des autorités de l'époque. Ma conviction qu'il faut des scientifiques, comme une armée, est avérée : « au cas où ». Voici le président Roosevelt appelant Einstein :

L'éminent mathématicien russe Igor Arnold a déclaré ouvertement et tristement que la guerre avait eu une grande influence sur le développement des mathématiques et de la physique (le radar et le GPS avaient également une origine militaire). Je n'entre pas dans l'aspect moral de l'utilisation de la bombe atomique : voici l'extension de la guerre d'un an et la mort de plusieurs millions de leurs propres soldats, voilà la souffrance de civils innocents.

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Je m'enfuis dans des zones familières - K. Beaucoup d'entre nous ont joué avec les codes, peut-être le scoutisme, peut-être juste comme ça. Les chiffrements simples, basés sur le principe du remplacement des lettres par d'autres lettres ou d'autres chiffres, sont systématiquement brisés si l'on n'attrape que quelques indices (par exemple, on devine le nom du roi). L'analyse statistique aide également aujourd'hui. Pire, quand tout est changeant. Mais le pire, c'est quand il n'y a pas de régularité. Considérez le code décrit dans Les aventures du bon soldat Schweik. Prenez un livre, par exemple, Le Déluge. Voici les suggestions sur les première et deuxième pages.

Nous voulons encoder le mot "CAT". Nous ouvrons à la page 1 et la seconde suivante. Nous constatons qu'à la page 1, la lettre K apparaît d'abord à la 59e place. On retrouve le cinquante-neuvième mot à l'opposé, de l'autre côté. C'est un mot "a". Maintenant, la lettre O. Sur la gauche est le 16ème mot, et le seizième sur la droite est "M." La lettre T est à la 95e place, si j'ai bien compté, et le quatre-vingt-quinzième mot à partir de la droite est "o". Donc, CHAT = 1 SEIGNEUR O.

Un chiffrement "impossible à deviner", bien que douloureusement lent à la fois pour le cryptage et ... pour la devinette. Supposons que nous voulions passer la lettre M. Nous pouvons vérifier si nous l'encodons avec le mot "Wołodyjowski". Et après nous, ils préparent déjà une cellule de prison. On ne peut compter que sur un remplaçant ! En outre, le contre-espionnage note des rapports d'employés secrets selon lesquels, depuis un certain temps, les clients achètent volontiers le premier volume de The Flood.

Mon article est une contribution à cette thèse : même les idées les plus bizarres des mathématiciens peuvent trouver une application dans une pratique largement comprise. Par exemple, est-il possible d'imaginer une découverte mathématique moins utile que le critère de divisibilité... par 47 ?

Quand en avons-nous besoin dans la vie ? Et si c'est le cas, il sera plus facile d'essayer de le séparer. Si ça divise, alors c'est bon, sinon, alors... secondairement c'est bon (on sait que ça ne divise pas).

Comment partager et pourquoi

Après cette introduction, passons à : Connaissez-vous, lecteurs, des signes de divisibilité ? Certainement. Les nombres pairs se terminent par 2, 4, 6, 8 ou zéro. Un nombre est divisible par trois si la somme de ses chiffres est divisible par trois. De même, avec le signe de divisibilité par neuf - la somme des chiffres doit être divisible par neuf.

Qui en a besoin ? Je mentirais si je convainquais le Lecteur qu'il était bon pour autre chose que... les devoirs scolaires. Eh bien, et une autre caractéristique de la divisibilité par 4 (et qu'est-ce que c'est, Lecteur ? Peut-être que vous l'utiliserez quand vous voudrez savoir en quelle année tombe la prochaine Olympiade...). Mais la caractéristique de divisibilité par 47 ? C'est déjà un casse-tête. Saura-t-on un jour si quelque chose est divisible par 47 ? Si oui, prenez une calculatrice et voyez.

C'est. Vous avez raison, lecteur. Et pourtant, lisez la suite. Je vous en prie.

Signe de divisibilité sur 47: Le nombre 100+ est divisible par 47 si et seulement si 47 est divisible par +8.

Le mathématicien sourira avec satisfaction : « Oh, jolie. Mais les mathématiques sont des mathématiques. La preuve compte, et nous prêtons attention à sa beauté. Comment prouver notre trait? C'est très simple. Soustraire de 100 + le nombre 94 - 47 = 47 (2 -). Nous obtenons 100+-94+47=6+48=6(+8).

Nous avons soustrait un nombre qui est divisible par 47, donc si 6 (+ 8) est divisible par 47, alors 100 + l'est aussi. Mais le nombre 6 est premier avec 47, ce qui signifie que 6 (+ 8) est divisible par 47 si et seulement si c'est + 8. Fin de la preuve.

Voyons voir Quelques exemples.

8805685 est divisible par 47 ? Si cela nous intéresse vraiment, nous le saurons plus tôt simplement en nous divisant comme on nous l'a appris à l'école primaire. D'une manière ou d'une autre, il y a maintenant une calculatrice dans chaque téléphone mobile. Divisé? Oui, privé 187355.

Eh bien, voyons ce que nous dit le signe de divisibilité. Nous déconnectons les deux derniers chiffres, les multiplions par 8, ajoutons le résultat au "nombre tronqué" et faisons de même avec le nombre résultant.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Nous voyons que 94 est divisible par 47 (le quotient est 2), ce qui signifie que le nombre d'origine est également divisible. Amende. Et si on continuait à s'amuser ?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Maintenant, il faut arrêter. Quarante-sept est divisible par 47, n'est-ce pas ?

Doit-on vraiment s'arrêter ? Et si on allait plus loin ? Oh mon Dieu, tout peut arriver... Je vais omettre les détails. Peut-être juste le début :

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Mais, malheureusement, c'est aussi addictif que de mâcher des graines...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, quarante-sept. C'est arrivé avant. Et après? . Même. Les chiffres vont dans une boucle comme ceci :

C'est vraiment intéressant. Tant de boucles.

Deux exemples suivants.

Nous voulons savoir si 10017627 est divisible par 47. Pourquoi avons-nous besoin de cette connaissance ? Nous nous souvenons du principe : malheur à la connaissance qui n'aide pas celui qui connaît. La connaissance est toujours là pour quelque chose. Ce sera pour quelque chose, mais maintenant je ne vais pas m'expliquer. Quelques comptes supplémentaires :

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Il a changé son oncle d'une hache à un bâton." Qu'obtenons-nous de tout cela ?

Eh bien, répétons le déroulement de la procédure. Autrement dit, nous continuerons à le faire (c'est-à-dire le mot « itérer »).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Arrêtons le jeu, divisez comme à l'école (ou sur une calculatrice) : 235 = 5 47. Bingo. Le nombre original 10017627 est divisible par 47.

Bravo à nous !

Et si on allait plus loin ? Croyez-moi, vous pouvez le vérifier.

Et un autre fait intéressant. Nous voulons vérifier si 799 est divisible par 47. Nous utilisons la fonction de divisibilité. Nous déconnectons les deux derniers chiffres, multiplions le nombre obtenu par 8 et ajoutons à ce qui reste :

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Ce que nous avons? 799 est-il divisible par 47 si et seulement si 799 est divisible par 47 ? Oui, c'est vrai, mais aucun calcul n'est nécessaire pour cela !!! L'huile est huileuse (au moins cette huile est huileuse).

A propos de la feuille, des pirates et de la fin des blagues !

Deux autres histoires. Quel est le meilleur endroit pour cacher une feuille ? La réponse est évidente : dans la forêt ! Mais comment le trouver alors ?

La seconde, nous la connaissons grâce aux livres sur les pirates que nous avons lus il y a longtemps. Les pirates ont fait une carte de l'endroit où ils ont enterré le trésor. D'autres l'ont volé ou ont gagné le combat. Mais la carte n'indiquait pas à quelle île elle était destinée. Et cherchez par vous-même ! Bien sûr, les pirates ont fait face à cela (torture) - les chiffres dont je parle peuvent également être extraits à l'aide de telles méthodes.

Fini les blagues. Lecteur! Nous créons un chiffrement. Je suis un espion infiltré et j'utilise "Technicien junior" comme boîte de contact. Transférez-moi les messages chiffrés comme suit.

Tout d'abord, convertissez le texte en une chaîne de nombres à l'aide du code : AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Comme vous pouvez le voir, nous n'utilisons pas de signes diacritiques polonais (c'est-à-dire sans ±, ę, ć, ń, ó, ś) et q, v non polonais - mais le x non polonais est là juste au cas où. Incluons un autre 25 comme espace (espace entre les mots). Ah, le plus important. Veuillez appliquer le code n° 47.

Savez-vous ce que cela signifie. Vous allez chez un ami mathématicien.

Les yeux de l'ami s'agrandirent de surprise.

Vous répondez fièrement :

Un mathématicien vous a doté de ce trait... et vous savez déjà qu'une fonction discrète est utilisée pour le chiffrement

parce qu'un tel modèle est une action décrite

100+→+8.

Ainsi, lorsque vous voulez savoir ce que signifie un nombre, comme 77777777 dans un message crypté, vous utilisez la fonction

100+→+8

jusqu'à ce que vous obteniez un nombre compris entre 1 et 25. Regardez maintenant le code alphanumérique explicite. Voyons voir : 77777777 →… Je vous laisse cela comme une tâche. Mais voyons ce que cache la lettre 48 ? Lisons:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Puis on obtient tour à tour :

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

La fin n'est pas en vue. Ce n'est qu'après la soixantième (!) fois qu'apparaîtra un nombre inférieur à 25. C'est 3, ce qui signifie que 48 est la lettre C.

Et que nous apporte ce message ? (Je tiens à vous rappeler que nous utilisons le code numéro 47):

80 - 152 - 136 - 546 - 695719 - 100 - 224 - 555 - 412 - 111 - 640 - 102 - 152 - 12881 - 444 - 77777777 - 59 - 408 - 373 - 1234567 - 341.

Eh bien, pensez-y, ce qui est si compliqué, certains comptes. Nous avons commencé. Début 80. Règle connue :

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Ça continue comme ça :

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Manger! La première lettre du message est K. Ouf, facile, mais combien de temps cela prendra-t-il ?

Voyons aussi à quel point nous devons avoir du mal avec le nombre 1234567. Ce n'est qu'à la seizième fois que nous obtiendrons un nombre inférieur à 25, à savoir 12. Donc 1234567 est L.

D'accord, pourrait-on dire, mais cette opération arithmétique est si simple que la programmer sur un ordinateur cassera immédiatement le code. Oui c'est vrai. Ce sont de simples calculs informatiques. idée avec chiffrement public et il s'agit aussi de rendre les calculs difficiles pour l'ordinateur. Laissez-le fonctionner pendant au moins cent ans. Va-t-il décrypter le message ? Peu importe. Cela n'aura pas d'importance pendant longtemps. C'est (plus ou moins) à quoi servent les chiffrements publics. Ils peuvent être cassés si vous travaillez très longtemps... jusqu'à ce que l'actualité ne soit plus d'actualité.

 elle a toujours donné naissance aux "contre-armes". Tout a commencé avec une épée et un bouclier. Les services secrets paient des sommes colossales à des mathématiciens doués pour inventer des méthodes de cryptage que les ordinateurs (y compris ceux que nous avons créés) ne pourront pas craquer au XXIe siècle.

vingt-deuxième siècle ? Il n'est pas si difficile de savoir qu'il y a déjà beaucoup de gens dans le monde qui vivront dans ce beau siècle !

Ah hein ? Et si je demande (moi, l'Officier Secret contacté par le « Jeune Technicien ») de chiffrer avec le code numéro 23 ? Ou 17 ? Simple:

Puissions-nous ne jamais avoir à utiliser les mathématiques à de telles fins.

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Le titre de l'article parle de poésie. Qu'est-ce qu'elle a à voir avec ça ?

Comme quoi? La poésie crypte aussi le monde.

Comment?

Par leurs méthodes - similaires à celles algébriques.