ALORS À QUI, c'est-à-dire : ESSAYEZ OÙ VOUS POUVEZ - partie 2

Dans l'épisode précédent, nous avons traité de Sudoku, un jeu d'arithmétique dans lequel les nombres sont essentiellement disposés dans divers diagrammes selon certaines règles. La variante la plus courante est un échiquier 9 × 9, divisé en plus en neuf cellules 3 × 3. Les nombres de 1 à 9 doivent y être placés de manière à ce qu'ils ne se répètent ni dans une rangée verticale (les mathématiciens disent : dans une colonne) ni dans une rangée horizontale (les mathématiciens disent : dans une rangée) - et, de plus, pour que ils ne se répètent pas. répéter dans n'importe quel petit carré.

Na figue. 1 nous voyons ce puzzle dans une version plus simple, qui est un carré 6 × 6 divisé en rectangles 2 × 3. Nous y insérons les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6 - afin qu'ils ne se répètent pas verticalement, ni horizontalement, ni dans chacun des hexagones sélectionnés.

Essayons montré dans le carré du haut. Pouvez-vous le remplir avec des chiffres de 1 à 6 selon les règles établies pour ce jeu ? C'est possible - mais ambigu. Voyons - dessinez un carré à gauche ou un carré à droite.

On peut dire que ce n'est pas la base du puzzle. Nous supposons généralement qu'un puzzle a une solution. La tâche de trouver différentes bases pour le "grand" Sudoku, 9x9, est une tâche difficile et il n'y a aucune chance de la résoudre complètement.

Un autre lien important est le système contradictoire. Le carré du bas du milieu (celui avec le chiffre 2 dans le coin inférieur droit) ne peut pas être complété. Pourquoi?

Divertissement et retraites

Nous continuons à jouer. Utilisons l'intuition des enfants. Ils croient que le divertissement est une introduction à l'apprentissage. Allons dans l'espace. allumé figue. 2 tout le monde voit la grille tétraèdredes balles, par exemple des balles de ping-pong ? Rappel des leçons de géométrie de l'école. Les couleurs sur le côté gauche de l'image expliquent à quoi il est collé lors de l'assemblage du bloc. En particulier, trois boules de coin (rouges) seront collées en une seule. Par conséquent, ils doivent être au même nombre. Peut-être 9. Pourquoi ? Et pourquoi pas?

Oh je ne l'ai pas formulé задачи. Cela ressemble à ceci : est-il possible d'inscrire les chiffres de 0 à 9 dans la grille visible pour que chaque face contienne tous les chiffres ? La tâche n'est pas difficile, mais combien faut-il imaginer ! Je ne gâcherai pas le plaisir des lecteurs et ne donnerai pas de solution.

C'est une forme très belle et sous-estimée. octaèdre régulier, construit à partir de deux pyramides (=pyramides) à base carrée. Comme son nom l'indique, l'octaèdre a huit faces.

Il y a six sommets dans un octaèdre. Il contredit cubequi a six faces et huit sommets. Les bords des deux morceaux sont les mêmes - douze chacun. Ce solides doubles - cela signifie qu'en reliant les centres des faces du cube on obtient un octaèdre, et les centres des faces de l'octaèdre nous donneront un cube. Ces deux bosses fonctionnent ("parce qu'elles le doivent") Formule d'Euler: La somme du nombre de sommets et du nombre de faces est supérieure de 2 au nombre d'arêtes.

3. Un octaèdre régulier en projection parallèle et un réseau d'octaèdres composé de sphères de telle sorte que chaque arête ait quatre sphères.

Tâche 1. Tout d'abord, écrivez la dernière phrase du paragraphe précédent à l'aide d'une formule mathématique. Sur le figue. 3 vous voyez une grille octaédrique, également composée de sphères. Chaque bord a quatre boules. Chaque face est un triangle de dix sphères. Le problème est posé indépendamment : est-il possible de mettre des nombres de 0 à 9 dans les cercles de la grille pour qu'après collage d'un corps solide, chaque mur contienne tous les nombres (il s'ensuit que sans répétition). Comme précédemment, la plus grande difficulté dans cette tâche est de savoir comment le maillage est transformé en un corps solide. Je ne peux pas l'expliquer par écrit, donc je ne donne pas non plus la solution ici.

4. Deux icosaèdres de balles de ping-pong. Remarquez la palette de couleurs différente.

déjà Platon (et il vécut aux Ve-IVe siècles av. J.-C.) connaissait tous les polyèdres réguliers : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre i icosaèdre. C'est incroyable comment il est arrivé là - pas de crayon, pas de papier, pas de stylo, pas de livre, pas de smartphone, pas d'internet ! Je ne parlerai pas du dodécaèdre ici. Mais le sudoku icosaédrique est intéressant. Nous voyons cette masse sur illustration 4et son réseau figure 5.

5. Maillage régulier de l'icosaèdre.

Comme avant, ce n'est pas une grille au sens où on s'en souvient (?!) de l'école, mais une façon de coller des triangles à partir de boules (boules).

Tâche 2. Combien de boules faut-il pour construire un tel icosaèdre ? Le raisonnement suivant est-il toujours valable : puisque chaque face est un triangle, s'il doit y avoir 20 faces, alors jusqu'à 60 sphères sont nécessaires ?

6. Grille d'un icosaèdre à partir de sphères. Chaque cercle est, par exemple, une balle de ping-pong, mais la construction de cercles sur des cercles marqués de la même couleur se confond en un seul. Nous avons donc douze sphères (= douze sommets : rouge, bleu, violet, bleu et huit jaunes).

Il est facile de voir que trois nombres dans l'icosaèdre ne suffisent pas. Plus précisément : il est impossible d'énumérer les sommets numérotés 1, 2, 3 pour que chaque face (triangulaire) ait ces trois numéros et qu'il n'y ait pas de répétitions. Est-ce possible avec quatre chiffres ? Oui c'est possible! Regardons Riz. 6 et 7.

7. Voici comment numéroter les sphères qui composent l'icosaèdre de sorte que chaque face contienne des nombres autres que 1, 2, 3, 4. Lequel des corps de la fig. 4 est coloré comme ça?

Tâche 3. Trois des quatre nombres peuvent être choisis de quatre manières : 123, 124, 134, 234. Trouvez cinq de ces triangles dans l'icosaèdre de la fig. 7 (ainsi que de illustrations une).

Tâche 4 (nécessite une très bonne imagination spatiale). L'icosaèdre a douze sommets, ce qui signifie qu'il peut être collé à partir de douze boules (figue. 7). Notez qu'il y a trois sommets (= boules) étiquetés avec 1, trois avec 2, et ainsi de suite. Ainsi, des boules de même couleur forment un triangle. Quel est ce triangle ? Peut-être équilatéral ? Regarde encore illustrations une.

La prochaine tâche pour le grand-père / grand-mère et le petit-fils / petite-fille. Les parents peuvent enfin s'essayer eux aussi, mais ils ont besoin de patience et de temps.

Tâche 5. Achetez douze (de préférence 24) balles de ping-pong, environ quatre couleurs de peinture, un pinceau et la bonne colle - je ne recommande pas les rapides comme Superglue ou Droplet car elles sèchent trop vite et sont dangereuses pour les enfants. Collez l'icosaèdre. Habillez votre petite-fille avec un t-shirt qui sera lavé (ou jeté) immédiatement après. Couvrir la table avec du papier d'aluminium (de préférence avec des journaux). Colorez soigneusement l'icosaèdre avec quatre couleurs 1, 2, 3, 4, comme indiqué sur la fig. figue. 7. Vous pouvez modifier l'ordre - coloriez d'abord les ballons, puis collez-les. Dans le même temps, de minuscules cercles doivent être laissés non peints afin que la peinture ne colle pas à la peinture.

Maintenant, la tâche la plus difficile (plus précisément, toute leur séquence).

Tâche 6 (Plus précisément, le thème général). Tracez l'icosaèdre comme un tétraèdre et un octaèdre sur Riz. 2 et 3 Cela signifie qu'il devrait y avoir quatre balles sur chaque bord. Dans cette variante, la tâche est à la fois chronophage et même coûteuse. Commençons par déterminer le nombre de balles dont vous avez besoin. Chaque face a dix sphères, donc l'icosaèdre en a besoin de deux cents ? Non! Il faut se rappeler que beaucoup de balles sont partagées. Combien d'arêtes possède un icosaèdre ? Elle peut être minutieusement calculée, mais à quoi sert la formule d'Euler ?

w–k+s=2

où w, k, s sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces. On se rappelle que w = 12, s = 20, ce qui signifie k = 30. On a 30 arêtes de l'icosaèdre. Vous pouvez le faire différemment, car s'il y a 20 triangles, ils n'ont que 60 arêtes, mais deux d'entre elles sont communes.

Calculons le nombre de balles dont vous avez besoin. Dans chaque triangle, il n'y a qu'une seule balle interne - ni au sommet de notre corps, ni sur le bord. Ainsi, nous avons un total de 20 balles de ce type. Il y a 12 sommets. Chaque arête a deux boules non vertex (elles sont à l'intérieur de l'arête, mais pas à l'intérieur de la face). Puisqu'il y a 30 arêtes, il y a 60 billes, mais deux d'entre elles sont partagées, ce qui signifie que vous n'avez besoin que de 30 billes, donc vous avez besoin d'un total de 20 + 12 + 30 = 62 billes. Les balles peuvent être achetées pour au moins 50 centimes (généralement plus chers). Si vous ajoutez le coût de la colle, cela en sortira ... beaucoup. Un bon collage demande plusieurs heures de travail minutieux. Ensemble, ils conviennent à un passe-temps relaxant - je les recommande au lieu, par exemple, de regarder la télévision.

Digression 1. Dans la série de films Years, Days d'Andrzej Wajda, deux hommes jouent aux échecs "parce qu'ils doivent en quelque sorte passer le temps jusqu'au dîner". Il se déroule dans la Cracovie galicienne. En effet : les journaux ont déjà été lus (alors ils avaient 4 pages), la télé et le téléphone n'ont pas encore été inventés, il n'y a pas de matchs de foot. L'ennui dans les flaques. Dans une telle situation, les gens ont trouvé des divertissements pour eux-mêmes. Aujourd'hui, nous les avons après avoir appuyé sur la télécommande ...

Digression 2. Lors de la réunion de 2019 de l'Association des professeurs de mathématiques, un professeur espagnol a présenté un programme informatique capable de peindre des murs solides de n'importe quelle couleur. C'était un peu effrayant, car ils n'ont dessiné que les mains, presque coupé le corps. Je me suis dit: combien de plaisir pouvez-vous tirer d'un tel "ombrage"? Tout prend deux minutes, et à la quatrième on ne se souvient plus de rien. Pendant ce temps, la « couture » à l'ancienne apaise et éduque. Qui ne croit pas, laissez-le essayer.

Revenons au XNUMXe siècle et à nos réalités. Si nous ne voulons pas de relaxation sous forme de collage laborieux de boules, nous dessinerons au moins une grille d'un icosaèdre dont les bords ont quatre boules. Comment faire? Hachez-le bien figure 6. Le lecteur attentif devine déjà le problème :

Tâche 7. Est-il possible d'énumérer les boules numérotées de 0 à 9 pour que tous ces nombres apparaissent sur chaque face d'un tel icosaèdre ?

Pour quoi sommes-nous payés ?

Aujourd'hui on se pose souvent la question de la finalité de nos activités, et le « contribuable gris » se demandera pourquoi il devrait payer des mathématiciens pour résoudre de telles énigmes ?

La réponse est plutôt simple. De tels "puzzles", intéressants en eux-mêmes, sont "un fragment de quelque chose de plus sérieux". Après tout, les défilés militaires ne sont qu'une partie extérieure et spectaculaire d'un service difficile. Je ne donnerai qu'un exemple, mais je commencerai par un sujet mathématique étrange mais internationalement reconnu. En 1852, un étudiant anglais demanda à son professeur s'il était possible de colorier une carte avec quatre couleurs pour que les pays voisins soient toujours représentés dans des couleurs différentes ? Permettez-moi d'ajouter que nous ne considérons pas comme « voisins » ceux qui se rencontrent en un seul point, comme les États du Wyoming et de l'Utah aux États-Unis. Le professeur ne savait pas... et le problème attendait une solution depuis plus de cent ans.

8. Icosaèdre de blocs RECO. Les réflecteurs flash montrent ce que l'icosaèdre a en commun avec le triangle et le pentagone. Cinq triangles convergent à chaque sommet.

C'est arrivé d'une manière inattendue. En 1976, un groupe de mathématiciens américains a écrit un programme pour résoudre ce problème (et ils ont décidé : oui, quatre couleurs suffiront toujours). C'était la première preuve d'un fait mathématique obtenu à l'aide d'une "machine mathématique" - comme on appelait un ordinateur il y a un demi-siècle (et même plus tôt : "cerveau électronique").

Voici une "carte de l'Europe" spécialement montrée (figue. 9). Les pays qui ont une frontière commune sont connectés. Colorier la carte revient à colorier les cercles de ce graphique (appelé le graphique) de sorte qu'aucun cercle connecté ne soit de la même couleur. Un regard sur le Liechtenstein, la Belgique, la France et l'Allemagne montre que trois couleurs ne suffisent pas. Si tu veux, Lecteur, colorie-le de quatre couleurs.

9. Qui a des frontières avec qui en Europe ?

Eh bien, oui, mais est-ce que ça vaut l'argent des contribuables ? Regardons donc le même graphique un peu différemment. Oubliez qu'il y a des états et des frontières. Laissez les cercles symboliser les paquets d'informations à envoyer d'un point à un autre (par exemple, de P à EST), et les segments représentent les connexions possibles, chacune ayant sa propre bande passante. Envoyer dès que possible ?

Voyons d'abord une situation très simplifiée, mais aussi très intéressante d'un point de vue mathématique. Nous devons envoyer quelque chose du point S (= début) au point M (= arrivée) en utilisant un réseau de connexion avec la même bande passante, disons 1. Nous voyons cela dans figue. 10.

10. Réseau de liaisons de Statsyika Zdrój à Megapolis.

Imaginons qu'environ 89 bits d'informations doivent être envoyés de S à M. L'auteur de ces mots aime les problèmes de trains, alors il s'imagine qu'il est gérant chez Stacie Zdrój, d'où il doit envoyer 144 wagons. à la gare de la métropole. Pourquoi exactement 144 ? Car, comme nous le verrons, cela servira à calculer le débit de l'ensemble du réseau. La capacité est de 1 dans chaque lot, c'est-à-dire une voiture peut passer par unité de temps (un bit d'information, éventuellement aussi Gigabyte).

Assurons-nous que toutes les voitures se rencontrent en même temps en M. Tout le monde y arrive en 89 unités de temps. Si j'ai un paquet d'informations très important de S à M à envoyer, je le divise en groupes de 144 unités et je le fais passer comme ci-dessus. Le calcul garantit que ce sera le plus rapide. Comment ai-je su que vous aviez besoin de 89 ? En fait, j'ai deviné, mais si je ne devinais pas, je devrais le comprendre Équations de Kirchhoff (quelqu'un se souvient-il ? - ce sont des équations décrivant le flux de courant). La bande passante du réseau est de 184/89, ce qui équivaut approximativement à 1,62.

À propos de la joie

Au fait, j'aime le numéro 144. J'aimais prendre le bus avec ce numéro jusqu'à la place du château de Varsovie - quand il n'y avait pas de château royal restauré à côté. Peut-être que les jeunes lecteurs savent ce que c'est qu'une douzaine. C'est 12 exemplaires, mais seuls les lecteurs plus âgés se souviennent qu'une douzaine de douzaines, c'est-à-dire. 122=144, c'est le soi-disant lot. Et tous ceux qui connaissent les mathématiques un peu plus que le programme scolaire comprendront immédiatement que figue. 10 nous avons des nombres de Fibonacci et que la bande passante du réseau est proche du "nombre d'or"

Dans la suite de Fibonacci, 144 est le seul nombre qui soit un carré parfait. Cent quarante-quatre est aussi un "nombre joyeux". C'est ainsi qu'un mathématicien amateur indien Dattatreya Ramachandra Caprécar en 1955, il a nommé les nombres divisibles par la somme de leurs chiffres constitutifs :

S'il le savait Adam Mickiewicz, il aurait certainement écrit non en Dzyady : « D'une mère étrangère ; son sang est celui de ses anciens héros / Et son nom est quarante-quatre, seulement plus élégant : Et son nom est cent quarante-quatre.

Prenez le divertissement au sérieux

J'espère avoir convaincu les lecteurs que les puzzles Sudoku sont le côté amusant des questions qui méritent certainement d'être prises au sérieux. Je ne peux pas développer davantage ce sujet. Oh, calcul complet de la bande passante du réseau à partir du diagramme fourni sur figue. 9 écrire un système d'équations prendrait deux heures ou plus - peut-être même des dizaines de secondes (!) de travail informatique.