Article sur rien

Enfant, j'étais fasciné par l'histoire, probablement connue de nombreux lecteurs, de "la soupe sur un clou". Ma grand-mère (XNUMXe siècle de naissance) m'a dit cela dans la version "Le cosaque est venu et a demandé de l'eau, car il a un ongle et il va y faire cuire de la soupe." La curieuse hôtesse lui a donné une marmite d'eau… et on sait ce qui s'est passé ensuite : « la soupe doit être salée, daitye, mamie, salée », puis il a lavé la viande « pour en améliorer le goût » et ainsi de suite. À la fin, il a jeté le clou "bouilli".

Cet article était donc censé porter sur le vide de l'espace - et il s'agit de l'atterrissage d'un appareil européen sur la comète 67P / Churyumov-Gerasimenko le 12 novembre 2014. Mais en écrivant, j'ai succombé à une habitude de longue date, Je suis toujours mathématicien. Comment ça se passe avec Commeс Zéro en maths?

Comment le Rien existe-t-il ?

On ne peut pas dire que Rien n'existe. Il existe au moins en tant que concept philosophique, mathématique, religieux et complètement familier. Zéro est un nombre ordinaire, zéro degré sur un thermomètre est aussi une température, et un solde nul dans une banque est un événement désagréable mais courant. Notez qu'il n'y a pas d'année zéro dans la chronologie, et c'est parce que le zéro n'a été introduit dans les mathématiques qu'à la fin du Moyen Âge, plus tard que la chronologie proposée par le moine Denys (XNUMXe siècle).

Curieusement, on pourrait vraiment se passer de ce zéro et donc sans nombres négatifs. Dans l'un des manuels de logique, j'ai trouvé un exercice : dessine ou dis comment tu imagines l'absence de poisson. Incroyable, n'est-ce pas ? N'importe qui peut dessiner un poisson, mais pas un seul ?

Maintenant brièvement cours de mathématiques de base. Accorder le privilège d'existence à l'ensemble vide marqué d'un cercle barré ∅ est une procédure nécessaire analogue à l'ajout de zéro à l'ensemble des nombres. L'ensemble vide est le seul ensemble qui ne contient aucun élément. Ces collections :

Mais il n'y a pas deux ensembles vides différents. L'ensemble vide est inclus dans tous les autres ensembles :

En effet, les règles de la logique mathématique disent que l'ensemble A est contenu dans l'ensemble B si et seulement si la phrase :

cela implique

Dans le cas de l'ensemble vide ∅, la proposition est toujours fausse, et donc, selon les lois de la logique, l'implication est généralement vraie. Tout découle d'un mensonge ("ici je vais faire pousser un cactus si tu passes à la classe supérieure..."). Ainsi, puisque l'ensemble vide est contenu dans chacun des autres, alors s'il s'agissait de deux ensembles différents, chacun d'eux serait contenu dans l'autre. Cependant, si deux ensembles sont contenus l'un dans l'autre, ils sont égaux. C'est pourquoi : il n'y a qu'un seul set vide !

Le postulat de l'existence d'un ensemble vide ne contredit aucune loi des mathématiques, alors pourquoi ne pas le mettre en pratique ? Le principe philosophique appeléle rasoir d'Occam» Un ordre pour exclure les concepts inutiles, mais juste ce qu'il faut le concept d'ensemble vide est très utile en mathématiques. Veuillez noter que l'ensemble vide a une dimension de -1 (moins un) - les éléments de dimension zéro sont des points et leurs systèmes clairsemés, les éléments unidimensionnels sont des lignes, et nous avons parlé d'éléments mathématiques très complexes avec une dimension fractale dans le chapitre sur les fractales.

Il est intéressant de noter que toute la construction des mathématiques : nombres, nombres, fonctions, opérateurs, intégrales, différentielles, équations... peut être dérivée d'un concept - un ensemble vide ! Il suffit de supposer qu'il existe un ensemble vide, les éléments nouvellement créés peuvent être combinés en ensembles pour pouvoir construire tous les maths. C'est ainsi que le logicien allemand Gottlob Frege a construit les nombres naturels. Zéro est une classe d'ensembles dont les éléments sont en correspondance mutuelle avec les éléments de l'ensemble vide. L'un est une classe d'ensembles dont les éléments sont en correspondance mutuelle avec les éléments d'un ensemble dont le seul élément est l'ensemble vide. Two est une classe d'ensembles dont les éléments sont un à un avec les éléments de l'ensemble constitués de l'ensemble vide et de l'ensemble dont le seul élément est l'ensemble vide... et ainsi de suite. À première vue, cela semble être quelque chose de très compliqué, mais en fait ce n'est pas le cas.

Le bleu s'est répandu sur moi

sentait la bruyère et sentait la menthe...

Wojciech Mlynarski, la fille de la moisson

Il est difficile d'imaginer

Rien n'est difficile à imaginer. Dans l'histoire de Stanisław Lem "Comment le monde a été sauvé", le designer Trurl a construit une machine qui ferait tout en commençant par une lettre. Lorsque Klapaucius ordonna sa construction Nic, la machine a commencé à supprimer divers objets du monde - dans le but ultime de tout supprimer. Au moment où Klapaucius effrayé arrêta la voiture, les galères, les ifs, les pendaisons, les hacks, les rimes, les batteurs, les poufs, les broyeurs, les brochettes, les philidrons et les givres avaient disparu du monde pour toujours. Et en effet, ils ont disparu à jamais...

Józef Tischner a très bien écrit sur le néant dans son Histoire de la philosophie de la montagne. Lors de mes dernières vacances, j'ai décidé de vivre ce néant, à savoir, je suis allé dans les tourbières entre Nowy Targ et Jabłonka à Podhale. Cette zone s'appelle même Pustachia. Vous y allez, vous y allez, mais la route ne diminue pas - bien sûr, à notre modeste échelle polonaise. Un jour, j'ai pris un bus dans la province canadienne de la Saskatchewan. Derrière la fenêtre se trouvait un champ de maïs. J'ai fait une sieste d'une demi-heure. Quand je me suis réveillé, nous roulions dans le même champ de maïs... Mais attendez, c'est vide ? Dans un sens, l'absence de changement n'est que vacuité.

Nous sommes habitués à la présence constante de divers objets autour de nous, et de Quelque chose vous ne pouvez pas vous enfuir même les yeux fermés. « Je pense, donc je suis », disait Descartes. Si j'ai déjà pensé quelque chose, alors j'existe, ce qui signifie qu'il y a au moins quelque chose dans le monde (à savoir, je). Ce que je pensais existe-t-il ? Cela peut se discuter, mais en mécanique quantique moderne, le principe d'Heisenberg est connu : chaque observation perturbe l'état de l'objet observé. Jusqu'à ce que nous le voyions Nic il n'existe pas, et quand on commence à regarder, l'objet cesse d'être Comme et ça devient Quelque chose. ça devient absurde principe anthropique: Il ne sert à rien de se demander à quoi ressemblerait le monde si nous n'existions pas. Le monde est ce qu'il nous semble. Peut-être que d'autres êtres verront la Terre comme anguleuse ?

Un positron (tel un électron positif) est un trou dans l'espace, "il n'y a pas d'électron". Dans le processus d'annihilation, l'électron saute dans ce trou et "rien ne se passe" - il n'y a pas de trou, pas d'électron. Je vais sauter beaucoup de blagues sur les trous dans le fromage suisse ("plus j'en ai, moins il y en a..."). Le célèbre compositeur John Cage avait déjà utilisé ses idées à tel point qu'il a composé (?) un morceau de musique (?) dans lequel l'orchestre reste immobile pendant 4 minutes 33 secondes et, bien sûr, ne joue rien. "Quatre minutes et trente-trois secondes font deux cent soixante-treize, 273, et moins 273 degrés est le zéro absolu, auquel tout mouvement s'arrête", a expliqué le compositeur (?).

Filtre à zéro, rien, pseudo, pseudo, rien, zéro !

Jerzy dans le film Au fil des ans d'Andrzej Wajda,

jours passent"

Et tout le monde ?

De nombreuses personnes (des simples agriculteurs aux philosophes éminents) se sont interrogées sur le phénomène de l'existence. En mathématiques, la situation est simple : il y a quelque chose qui est cohérent.

Elle a disparu dans les champs marginaux

Dans les bleuets, les mauvaises herbes et les gueules de lion ...

Eh bien, des choses comme ça arrivent

Surtout à la récolte, et pendant la récolte

surtout…

Wojciech Mlynarski, la fille de la moisson

Tout est à l'autre extrême du Rien. En mathématiques, on sait que Tout n'existe pas. Juste une notion bien trop inexacte que son existence serait exempte de controverse. Cela peut être compris par l'exemple du vieux paradoxe : « Si Dieu est tout-puissant, alors créer une pierre à ramasser ? La preuve mathématique qu'il ne peut y avoir d'ensembles de tous les ensembles est basée sur le théorème chanteur-Bershtein, qui dit qu'"un nombre infini" (mathématique : nombre cardinal) l'ensemble de tous les membres d'un ensemble donné est supérieur au nombre d'éléments de cet ensemble.

Si un ensemble a des éléments, alors il a 2ⁿ sous-ensembles ; par exemple, lorsque = 3 et que l'ensemble se compose de {1, 2, 3}, alors les sous-ensembles suivants existent :

• trois ensembles de deux éléments : il manque à chacun d'eux un des nombres 1, 2, 3,
• un ensemble vide,
• trois ensembles à un élément,
• l'ensemble {1,2,3}

– seulement huit, 2³Et lecteurs récemment diplômés de l'école, je voudrais rappeler la formule correspondante:

Chacun des symboles newtoniens de cette formule détermine le nombre d'ensembles d'éléments k dans l'ensemble d'éléments.

En mathématiques, les coefficients binomiaux apparaissent à de nombreux autres endroits, comme dans des formules intéressantes de multiplication réduite :

et de par leur forme exacte, leur interdépendance est beaucoup plus intéressante.

Il est difficile de comprendre ce qu'est - en ce qui concerne la logique et les mathématiques - et ce que Tout n'est pas. Arguments pour la non-existence Tout comme celui de Winnie l'ourson, qui demandait poliment à son invité, Tiger, est-ce que les tigres aiment le miel, les glands et les chardons ? "Les tigres aiment tout", a répondu celui dont Kubus a conclu que s'ils aiment tout, alors ils aiment aussi dormir par terre, donc, lui, Vinnie, peut retourner se coucher.

Un autre argument Le paradoxe de Russell. Il y a un barbier en ville qui rase tous les hommes qui ne se rasent pas. Est-ce qu'il se rase ? Les deux réponses contredisent la condition posée qu'ils tuent ceux, et seulement ceux, qui ne le font pas eux-mêmes.

Recherche une collection de toutes les collections

En conclusion, je donnerai une preuve intelligente, mais la plus mathématique, qu'il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles (à ne pas confondre avec lui).

Premièrement, nous allons montrer que pour tout ensemble X non vide, il est impossible de trouver une fonction mutuellement unique qui associe cet ensemble à l'ensemble de ses sous-ensembles P(X). Supposons donc que cette fonction existe. Notons-le par le f traditionnel. Qu'est-ce que f à partir de x ? Ceci est une collection. xf appartient-il à x ? Ceci est inconnu. Soit vous devez, soit vous ne le faites pas. Mais pour un certain x, il doit encore être tel qu'il n'appartient pas à f de x. Eh bien, considérons alors l'ensemble de tous les x pour lesquels x n'appartient pas à f(x). Notons-le (cet ensemble) par A. Il correspond à un élément a de l'ensemble X. A appartient-il à A ? Supposons que vous devriez. Mais A est un ensemble contenant uniquement les éléments de x qui n'appartiennent pas à f(x)... Eh bien, peut-être n'appartient-il pas à A ? Mais l'ensemble A contient tous les éléments de cette propriété, et donc aussi A. Fin de la preuve.

Donc, s'il existait un ensemble de tous les ensembles, il serait lui-même un sous-ensemble de lui-même, ce qui est impossible selon le raisonnement précédent.

Ouf, je ne pense pas que beaucoup de lecteurs aient vu cette preuve. Je l'ai plutôt évoqué pour montrer ce que les mathématiciens devaient faire à la fin du XIXe siècle, lorsqu'ils ont commencé à étudier les fondements de leur propre science. Il s'est avéré que les problèmes se situent là où personne ne les attendait. De plus, pour l'ensemble des mathématiques, ces raisonnements sur les bases importent peu : peu importe ce qui se passe dans les caves - tout le bâtiment des mathématiques repose sur un roc solide.

Pendant ce temps, au sommet...

Nous notons une morale de plus dans les histoires de Stanislav Lem. Au cours d'un de ses voyages, Iyon Tichi a atteint une planète dont les habitants, après une longue évolution, ont finalement atteint le stade de développement le plus élevé. Ils sont tous forts, ils peuvent tout faire, ils ont tout à portée de main… et ils ne font rien. Ils s'allongent sur le sable et le versent entre leurs doigts. "Si tout est possible, ça n'en vaut pas la peine", expliquent-ils à Ijon choqué. Que cela n'arrive pas à notre civilisation européenne...