Pourquoi ne divise-t-on pas par zéro ?

Les lecteurs peuvent se demander pourquoi je consacre un article entier à une question aussi banale ? La raison en est le nombre impressionnant d'étudiants (!) effectuant l'opération avec désinvolture sous le nom. Et pas seulement les étudiants. Parfois, j'attrape et les enseignants. Qu'est-ce que les élèves de tels professeurs seront capables de faire en mathématiques ? La raison immédiate de l'écriture de ce texte était une conversation avec un enseignant pour qui la division par zéro n'était pas un problème...

Avec zéro, oui, sauf pour les tracas de rien du tout, car on n'a pas vraiment besoin de s'en servir au quotidien. Nous n'allons pas acheter des œufs zéro. "Il y a une personne dans la pièce" semble quelque peu naturel, et "zéro personne" semble artificiel. Les linguistes disent que zéro est en dehors du système linguistique.

Nous pouvons également nous passer du zéro dans les comptes bancaires : utilisez simplement - comme sur un thermomètre - le rouge et le bleu pour les valeurs positives et négatives (notez que pour la température, il est naturel d'utiliser le rouge pour les nombres positifs, et pour les comptes bancaires, il est l'inverse, car le débit doit déclencher un avertissement, le rouge est donc fortement recommandé).

En incluant zéro comme nombre naturel, on touche au problème de la différenciation nombres cardinaux od Ménage. Dans les 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

la puissance du nombre est la même que le nombre du lieu où il se trouve. Sinon, il est déjà dans la séquence 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Le nombre d'ensembles de singletons vient en deuxième, le nombre d'ensembles avec deux éléments vient en troisième, et ainsi de suite. Nous devons expliquer pourquoi, par exemple, nous ne numérotons pas les places des athlètes dans les compétitions à partir de zéro. Ensuite, le vainqueur de la première place recevrait une médaille d'argent (l'or allait au vainqueur de la place zéro), et ainsi de suite. Une procédure quelque peu similaire a été utilisée dans le football - je ne sais pas si les lecteurs savent que "ligue un" signifie " suivre les meilleurs." », et la ligue zéro est appelée à devenir la « ligue majeure ».

Parfois, nous entendons l'argument selon lequel nous devons repartir de zéro, car c'est pratique pour les informaticiens. Poursuivant ces considérations, la définition d'un kilomètre devrait être modifiée - elle devrait être de 1024 m, car c'est le nombre d'octets dans un kilo-octet (je ferai référence à une blague connue des informaticiens: «Quelle est la différence entre un étudiant de première année et un étudiant en informatique et un étudiant de cinquième année de cette faculté ? qu'un kilo-octet vaut 1000 kilo-octets, le dernier - qu'un kilomètre vaut 1024 mètres") !

Un autre point de vue, qui devrait déjà être pris au sérieux, est celui-ci : nous mesurons toujours à partir de zéro ! Il suffit de regarder n'importe quelle échelle sur la règle, sur les balances domestiques, même sur l'horloge. Puisque nous mesurons à partir de zéro et que le comptage peut être compris comme une mesure avec une unité sans dimension, nous devons compter à partir de zéro.

C'est simple, mais...

Laissons le raisonnement général et revenons à la division par zéro. L'affaire est simple et elle le serait s'il n'y avait pas... et alors ? Réfléchissons et essayons. Combien cela peut-il être - un divisé par zéro ? Voyons : 1/0 = x. Multipliez les deux côtés par le dénominateur du côté gauche.

On obtient 1=0. Quelque chose ne va pas! Qu'est-il arrivé? Ah devinez ! L'hypothèse qu'il existe un quotient d'unité et de zéro conduit à une contradiction. Et si un ne peut pas être divisé par zéro, alors un autre nombre le peut. Si, lecteur, vous haussez les épaules et vous demandez pourquoi l'auteur (c'est-à-dire moi) écrit sur de telles platitudes, alors ... j'en suis très heureux!

La formule 0/0 = 0 pourrait être défendue avec obstination, mais elle contredit la règle selon laquelle le résultat de la division d'un nombre par lui-même est égal à un. Absolument, mais tout à fait différents sont des symboles tels que 0/0, °/° et autres dans le calcul. Ils ne signifient aucun nombre, mais sont des désignations symboliques pour des séquences particulières de certains types.

Dans un livre d'électrotechnique, j'ai trouvé une comparaison intéressante : la division par zéro est tout aussi dangereuse que l'électricité à haute tension. C'est normal : la loi d'Ohm stipule que le rapport de la tension à la résistance est égal au courant : V = U / R. Si la résistance était nulle, un courant théoriquement infini traverserait le conducteur, brûlant tous les conducteurs possibles.

Une fois, j'ai écrit un poème sur les dangers de la division par zéro pour chaque jour de la semaine. Je me souviens que la journée la plus dramatique était jeudi, mais c'est dommage pour tout mon travail dans ce domaine.

Quand tu divises quelque chose par zéro

Lundi très tôt

Semaine ce qui vient de se passer

Vous avez déjà lamentablement échoué.

Quand mardi après-midi

Tu mets zéro au dénominateur

Je vais te dire alors, tu as tort

Mauvais mathématicien !

Quand par zéro, par perversion,

Je veux me séparer mercredi

Vous aurez beaucoup d'ennuis

Vous avez du foin et de l'eau dans la tête !

Un certain Bartek était avec nous.

Il était en désaccord avec les règles.

Jeudi, il est divisible par zéro.

Il n'est plus entre nous !

Si un étrange désir s'empare de toi

Diviser par zéro le vendredi

Je vais être honnête, je vais être honnête :

Mauvais début de week-end.

Quand c'est zéro, quelque part le samedi

Le séparateur sera à vous (pas en gras)

Agenouillez-vous sous la clôture de l'église.

Ceci est votre résurrection.

Voulez-vous zéro sous le tiret,

Faire un jour férié le dimanche

Apportez de la craie, du tableau noir.

Écrivez : il n'est pas divisible par zéro !

Zéro est associé au vide et au néant. En effet, il est venu aux mathématiques comme une quantité qui, ajoutée à une quelconque, ne la change pas : x + 0 = x. Mais maintenant, zéro apparaît dans plusieurs autres valeurs, notamment comme début de l'échelle. S'il n'y a ni température positive ni gel à l'extérieur de la fenêtre, alors ... c'est zéro, ce qui ne signifie pas qu'il n'y a pas de température du tout. Un monument de classe zéro n'est pas celui qui a été démoli depuis longtemps et qui n'existe tout simplement pas. Au contraire, c'est quelque chose comme le Wawel, la Tour Eiffel et la Statue de la Liberté.

Eh bien, l'importance de zéro dans un système positionnel ne peut pas être surestimée. Savez-vous, Lecteur, combien de zéros Bill Gates a-t-il sur son compte bancaire ? Je ne sais pas, mais j'aimerais la moitié. Apparemment, Napoléon Bonaparte a remarqué que les gens sont comme des zéros : ils acquièrent un sens par la position. Dans As the Years, As the Days Pass d'Andrzej Wajda, l'artiste passionné Jerzy explose : « Philister est zéro, nihil, rien, rien, nihil, zéro. Mais zéro peut être bon : "zéro écart par rapport à la norme" signifie que tout va bien, et continuez comme ça !

Revenons aux mathématiques. Zéro peut être ajouté, soustrait et multiplié en toute impunité. "J'ai pris zéro kilogramme", dit Manya à Anya. "Et c'est intéressant, parce que j'ai perdu le même poids", répond Anya. Alors mangeons six fois zéro portion de crème glacée, ça ne nous fera pas de mal.

Nous ne pouvons pas diviser par zéro, mais nous pouvons diviser par zéro. Une assiette de zéro boulettes peut être facilement distribuée à ceux qui attendent de la nourriture. Combien chacun touchera-t-il ?

Zéro n'est ni positif ni négatif. Ceci et le nombre non positifи non négatif. Il vérifie les inégalités x≥0 et x≤0. La contradiction "quelque chose de positif" n'est pas "quelque chose de négatif", mais "quelque chose de négatif ou égal à zéro". Les mathématiciens, contrairement aux règles du langage, diront toujours que quelque chose est « égal à zéro » et non « zéro ». Pour justifier cette pratique, on a : si on lit la formule x = 0 « x est égal à zéro » alors x = 1 on lit « x est égal à un », ce qui pourrait être avalé, mais que dire de « x = 1534267 » ? Vous ne pouvez pas non plus attribuer une valeur numérique au caractère 0⁰ni élever zéro à une puissance négative. D'un autre côté, vous pouvez rooter zéro à volonté... et le résultat sera toujours zéro. 

Fonction exponentielle y = a^x, la base positive de a, ne devient jamais nulle. Il s'ensuit que le logarithme zéro n'existe pas. En effet, le logarithme de a à la base b est l'exposant auquel il faut élever la base pour obtenir le logarithme de a. Pour a = 0, un tel indicateur n'existe pas et zéro ne peut pas être la base du logarithme. Cependant, le zéro dans le "dénominateur" du symbole de Newton est autre chose. Nous supposons que ces conventions ne conduisent pas à une contradiction.

fausse preuve

La division par zéro est un sujet commun pour les fausses preuves, et cela arrive même aux mathématiciens expérimentés. Permettez-moi de vous donner deux de mes exemples préférés. La première est algébrique. Je vais "prouver" que tous les nombres sont égaux. Supposons qu'il y ait deux nombres qui ne sont pas égaux. Donc, l'un d'eux est plus grand que l'autre, soit a > b. Supposons que c est leur différence

c \uXNUMXd a - b. On a donc a - b = c, d'où a = b + c.

On multiplie les deux parties de ce dernier par a - b :

a² – ab = ab + ac – b2 – avant JC.

Je traduis ak vers la gauche, bien sûr je me souviens du changement de signe :

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

J'exclus les facteurs communs :

Un (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Je partage et j'ai ce que je voulais :

un = b.

Et en fait encore plus étrange, parce que j'ai supposé que a > b, et j'ai obtenu que a = b. Si dans l'exemple ci-dessus "tricher" est facile à reconnaître, alors dans la preuve géométrique ci-dessous ce n'est pas si facile. Je vais prouver que... le trapèze n'existe pas. La figure communément appelée trapèze n'existe pas.

Mais supposons d'abord qu'il existe une chose telle qu'un trapèze (ABCD dans la figure ci-dessous). Il a deux côtés parallèles ("bases"). Étirons ces bases, comme indiqué sur l'image, afin d'obtenir un parallélogramme. Ses diagonales divisent l'autre diagonale du trapèze en segments dont les longueurs sont notées x, y, z, comme dans figure 1. De la similitude des triangles correspondants, on obtient les proportions :

où l'on définit :

раз

où l'on définit :

Soustrayez les côtés de l'égalité marqués d'un astérisque :

 En raccourcissant les deux côtés de x − z, on obtient – ​​a/b = 1, ce qui signifie que a + b = 0. Mais les nombres a, b sont les longueurs des bases du trapèze. Si leur somme est nulle, alors elles sont également nulles. Cela signifie qu'une figure comme un trapèze ne peut pas exister ! Et puisque les rectangles, les losanges et les carrés sont aussi des trapèzes, alors, cher lecteur, il n'y a pas non plus de losanges, de rectangles et de carrés...

devinez devinez

Le partage d'informations est la plus intéressante et la plus stimulante des quatre activités de base. Ici, pour la première fois, nous rencontrons un phénomène si courant à l'âge adulte : "devinez la réponse, puis vérifiez si vous avez bien deviné". C'est très bien exprimé par Daniel K. Dennett ("Comment faire des erreurs?", dans Comment c'est - Un guide scientifique de l'univers, CiS, Varsovie, 1997):

Cette méthode de "deviner" n'interfère pas avec notre vie d'adulte - peut-être parce que nous l'apprenons tôt et que deviner n'est pas difficile. Idéologiquement, le même phénomène se produit, par exemple, dans l'induction mathématique (complète). Au même endroit, nous «devinons» la formule, puis vérifions si notre supposition est correcte. Les élèves demandent toujours : « Comment avons-nous connu la régularité ? Comment peut-il être retiré ?" Lorsque les étudiants me posent cette question, je transforme leur question en plaisanterie : "Je le sais parce que je suis un professionnel, parce que je suis payé pour savoir." Les étudiants à l'école peuvent être répondus dans le même style, mais plus sérieusement.

exercice. Notez que nous commençons l'addition et la multiplication écrite avec l'unité la plus faible et la division avec l'unité la plus élevée.

Une combinaison de deux idées

Les professeurs de mathématiques ont toujours souligné que ce que nous appelons la séparation des adultes est l'union de deux idées conceptuellement différentes : logement i séparation.

Le premier (logement) se produit dans les tâches où l'archétype est :

Diviser-diviser Ce sont des tâches telles que :

? (Nous retenons le style original de ce problème, tiré du manuel de Julian Zgozalewicz publié à Cracovie en 1892 - le złoty est le złoty rhénan, la monnaie qui était en circulation dans l'Empire austro-hongrois jusqu'au début du XVIe siècle).

Considérons maintenant deux problèmes avec le plus ancien manuel de mathématiques en polonais, père Tomasz Clos (1538). Est-ce une division ou un coupé ? Résolvez-le comme les écoliers du XNUMXe siècle devraient:

(Traduction du polonais vers le polonais : il y a un litre et quatre pots dans un tonneau. Un pot équivaut à quatre litres. Quelqu'un a acheté 20 tonneaux de vin pour 50 zł pour le commerce. Les droits et taxes (accise ?) seront de 8 zł. Combien vendre un quart pour gagner 8 zł ?)

Sport, physique, congruence

Parfois, dans le sport, vous devez diviser quelque chose par zéro (ratio d'objectifs). Eh bien, les juges s'en occupent d'une manière ou d'une autre. Cependant, en algèbre abstraite, ils sont à l'ordre du jour. quantités non nullesdont le carré est nul. Cela peut même s'expliquer simplement.

Considérons une fonction F qui associe un point (y, 0) à un point du plan (x, y). Qu'est-ce que F², c'est-à-dire une double exécution de F? Fonction zéro - chaque point a une image (0,0).

Enfin, les quantités non nulles dont le carré est 0 sont le pain quasi quotidien des physiciens, et les nombres de la forme a + bε, où ε ≠ 0, mais ε² = 0, les mathématiciens appellent nombres doubles. Ils se produisent en analyse mathématique et en géométrie différentielle.

Après tout, il y a quelque chose en arithmétique qui a une division par zéro au moins dans le nom. Ça vient de congruence. Soit Z l'ensemble des entiers. Diviser l'ensemble Z par p signifie que l'on assimile chaque nombre (entier) à certains autres, à savoir à ceux par lesquels leur différence est divisible. Ainsi, lorsque nous avons cinq types de nombres correspondant aux nombres 0, 1, 2, 3, 4 - les restes possibles lorsqu'ils sont divisés par 5. La formule s'écrit comme ceci :

mod lorsque la différence est un multiple.

Pour = 2, nous n'avons que deux nombres : 0 et 1. Diviser des nombres entiers en deux telles classes équivaut à les diviser en pair et impair. Remplaçons-le maintenant. La différence est toujours divisible par 1 (tout entier est divisible par 1). Est-il possible de prendre =0 ? Essayons : quand la différence de deux nombres est-elle un multiple de zéro ? Uniquement lorsque ces deux nombres sont égaux. Donc diviser un ensemble d'entiers par zéro a du sens, mais ce n'est pas intéressant : rien ne se passe. Cependant, il convient de souligner qu'il ne s'agit pas de division de nombres au sens connu depuis l'école primaire.

De telles actions sont tout simplement interdites, ainsi que des mathématiques longues et larges.

Riz. 2. Identification des nombres par comparaison

(mode 5 et mode 2)