Nouvelles machines mathématiques ? Motifs élégants et impuissance

Selon certains experts, les machines peuvent inventer ou, si vous préférez, découvrir des mathématiques complètement nouvelles que nous, les humains, n'avons jamais vues ou auxquelles nous n'avons jamais pensé. D'autres soutiennent que les machines n'inventent rien par elles-mêmes, qu'elles ne peuvent que représenter les formules que nous connaissons d'une manière différente et qu'elles ne peuvent pas du tout faire face à certains problèmes mathématiques.

Récemment, un groupe de scientifiques du Technion Institute en Israël et de Google a présenté système automatisé de génération de théorèmesqu'ils appelèrent la machine Ramanujan du nom du mathématicien Srinivasi Ramanujanaqui a développé des milliers de formules révolutionnaires en théorie des nombres avec peu ou pas d'éducation formelle. Le système développé par les chercheurs a transformé un certain nombre de formules originales et importantes en constantes universelles qui apparaissent en mathématiques. Un article sur ce sujet a été publié dans la revue Nature.

L'une des formules générées par la machine peut être utilisée pour calculer la valeur d'une constante universelle appelée Numéro catalan, plus efficace que l'utilisation de formules découvertes par l'homme connues auparavant. Cependant, les scientifiques affirment que La machine de Ramanujan il ne s'agit pas d'enlever les mathématiques aux gens, mais plutôt d'offrir une aide aux mathématiciens. Cependant, cela ne signifie pas que leur système est dénué d'ambition. Au moment où ils écrivent, la Machine "tente d'imiter l'intuition mathématique des grands mathématiciens et de fournir des indices pour d'autres quêtes mathématiques".

Le système fait des hypothèses sur les valeurs de constantes universelles (telles que) écrites sous forme de formules élégantes appelées fractions continues ou fractions continues (1). C'est le nom de la méthode d'expression d'un nombre réel sous forme de fraction sous une forme spéciale ou la limite de telles fractions. Une fraction continue peut être finie ou avoir une infinité de quotients._i/b_i; fraction A_k/B_k obtenu en rejetant les fractions partielles dans la fraction continue, à partir du (k + 1)ème, est appelé le kème réduit et peut être calculé par les formules :_-1=1,A₀=b₀, B_-1=0,V₀=1, A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, B_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; si la suite de reduits converge vers une limite finie, alors la fraction continue est dite convergente, sinon elle est divergente ; Une fraction continue est appelée une arithmétique si_i=1, b₀ terminé, b_i (i>0) – naturel ; la fraction continue arithmétique converge; chaque nombre réel se développe en une fraction arithmétique continue, qui n'est finie que pour les nombres rationnels.

1. Un exemple d'écriture de Pi sous forme de fraction continue

Algorithme de machine de Ramanujan sélectionne toutes les constantes universelles pour le côté gauche et toutes les fractions continues pour le côté droit, puis calcule chaque côté séparément avec une certaine précision. Si les deux côtés semblent se chevaucher, les quantités sont calculées avec plus de précision pour s'assurer que la correspondance n'est pas une correspondance ou une inexactitude. Surtout, il existe déjà des formules qui vous permettent de calculer la valeur des constantes universelles, par exemple, avec n'importe quelle précision, donc le seul obstacle à la vérification de la conformité de la page est le temps de calcul.

Avant d'implémenter de tels algorithmes, les mathématiciens devaient en utiliser un existant. connaissances mathématiques i théorèmesfaire une telle hypothèse. Grâce aux suppositions automatiques générées par les algorithmes, les mathématiciens peuvent les utiliser pour recréer des théorèmes cachés ou des résultats plus "élégants".

La découverte la plus remarquable des chercheurs n'est pas tant de nouvelles connaissances qu'une nouvelle hypothèse d'une importance surprenante. Ceci permet calcul de la constante de catalan, une constante universelle dont la valeur est nécessaire dans de nombreux problèmes mathématiques. L'exprimer sous la forme d'une fraction continue dans une hypothèse nouvellement découverte permet les calculs les plus rapides à ce jour, en éliminant les formules antérieures qui prenaient plus de temps à traiter dans un ordinateur. Cela semble marquer un nouveau point de progrès pour l'informatique depuis le moment où les ordinateurs ont battu pour la première fois les joueurs d'échecs.

Ce que l'IA ne peut pas gérer

Algorithmes machines Comme vous pouvez le voir, ils font certaines choses de manière innovante et efficace. Face à d'autres problèmes, ils sont impuissants. Un groupe de chercheurs de l'Université de Waterloo au Canada a découvert une classe de problèmes en utilisant apprentissage automatique. La découverte est liée à un paradoxe décrit au milieu du siècle dernier par le mathématicien autrichien Kurt Gödel.

Le mathématicien Shai Ben-David et son équipe ont présenté un modèle d'apprentissage automatique appelé prédiction maximale (EMX) dans une publication de la revue Nature. Il semblerait qu'une tâche simple se soit avérée impossible pour l'intelligence artificielle. Problème posé par l'équipe Shai Ben David revient à prédire la campagne publicitaire la plus rentable, centrée sur les lecteurs qui visitent le site le plus fréquemment. Le nombre de possibilités est si grand que le réseau de neurones n'est pas en mesure de trouver une fonction qui prédira correctement le comportement des utilisateurs du site Web, n'ayant qu'un petit échantillon de données à sa disposition.

Il s'est avéré que certains des problèmes posés par les réseaux de neurones sont équivalents à l'hypothèse du continuum posée par Georg Cantor. Le mathématicien allemand a prouvé que la cardinalité de l'ensemble des nombres naturels est inférieure à la cardinalité de l'ensemble des nombres réels. Puis il posa une question à laquelle il ne put répondre. A savoir, il s'est demandé s'il existe un ensemble infini dont la cardinalité est inférieure à la cardinalité ensemble de nombres réelsmais plus de puissance ensemble de nombres naturels.

Mathématicien autrichien du XNUMXème siècle. Kurt Godel prouvé que l'hypothèse du continu est indécidable dans le système mathématique actuel. Il s'avère maintenant que les mathématiciens qui conçoivent les réseaux de neurones ont été confrontés à un problème similaire.

Alors, bien qu'invisible pour nous, comme on le voit, elle est impuissante face à des limitations fondamentales. Les scientifiques se demandent si avec des problèmes de cette classe, comme les ensembles infinis, par exemple.