Comment tromper, manipuler et se présenter sous un jour favorable dans la grandeur des mathématiques ?

Début novembre 2020, Mateusz Morawiecki a mentionné aux mathématiciens du Center for Mathematical Modeling qu'ils avaient montré que la grève des femmes avait provoqué une augmentation des infections de 5000. J'ai des amis dans ce centre - ils ont seulement appris qu'ils l'avaient prédit à partir d'un discours de M. - à Mateusz.

Je tiens à souligner que, contrairement peut-être au titre de l'article, je ne ferai ni louange ni critique de l'actuel Premier ministre. je pense que mathématiques n'est pas son fort, mais une telle déficience intellectuelle ne soulèvera pas d'objections de la part de la plupart d'entre vous. Et en général, un grand mathématicien ne serait-il pas dans une position responsable, mais pas sage dans la vie et la politique ? Je mentionnerai également que Donald Tusk, lors de son ancienne campagne présidentielle, a déclaré (comme pour plaisanter) : "vous ne pouvez pas passer d'examens de mathématiques sans téléchargement". Vous savez, le nuage mathématique est votre homme, tout comme moi. Julian Tuwim était snob sur son ignorance des mathématiques. Et ils m'ont appelé au conseil. Je noterai seulement que nous avons eu une première en mathématiques en Pologne. C'était (cinq fois) Kazimierz Bartel, 1882-1941, recteur de l'École polytechnique de Lviv, excellent géomètre. Je ne peux pas et n'essaie pas de juger son règne.

L'essuyage de la bouche est polyvalent et ancien. Des livres, minces et épais, ont été écrits à ce sujet. Il y a plusieurs façons, je vais en parler, je commencerai par celles qui sont cousues avec des fils épais. Peut-être que dans le passé, il y avait encore plus de telles méthodes, car dans le monumental et premier du genre Dictionnaire de la langue polonaise Samuel Bogumil Linde (publié en 1807-1814) nous lisons :

Mathématicien, mathématicien mathématicien, jongleur mathématique.

Nous ne connaissons pas les gestes les plus simples, et nous voulons vraiment faire nos preuves. Il y a quelques années, un journaliste d'Olsztyn a écrit un long exposé sur la façon dont les fabricants nous trompent. Par exemple : sur un paquet de beurre, il est écrit "teneur en matières grasses 85 %" - est-ce 85 % dans un cube ou dans un kilogramme ? Toute la Pologne gazouillait. Mais seuls les professeurs de mathématiques intelligents (c'est-à-dire tous les professeurs de mathématiques !) ont remarqué une erreur dans le raisonnement de l'un de nos anciens premiers ministres, Kazimir Martsinkevich, il y a de nombreuses années. Je vais changer un peu les chiffres pour que ce soit plus facile à voir. Il a dit quelque chose comme ça : nous avons dépensé 150 millions de zlotys pour la construction de routes et reçu 50 millions de Bruxelles, donc nous n'en dépenserons que 100. Nous avons économisé 50 %. Eh bien, 50/100, c'est 50 %. Où est l'erreur ? Et si nous avions 100 millions, combien économiserions-nous ? L'erreur est subtile. En parlant de pourcentages, il est important de préciser d'où nous les obtenons. C'est une erreur très courante que commettent les enseignants. On dit qu'un pourcentage c'est un centième. Ce n'est pas autorisé ! Cent pour cent, mais c'est toujours quelque chose. Si nous dépensons 150 et dépensons 100, nous économisons 50 sur 150, soit 33 %. Le Premier ministre Martsinkevitch était professeur de physique. Soit il était un si mauvais professeur qu'il ne comprenait pas les pourcentages, soit il les a délibérément manipulés pour obtenir le meilleur effet politique. En fait, je préférerais ce dernier. Permettez-moi de vous rappeler une très vieille anecdote d'avant-guerre. « Papa, j'ai économisé 20 centimes aujourd'hui ! » « C'est très bien, mon fils ! Comment? "Je n'ai pas pris le tram pour aller à l'école, j'ai couru après !" "Ah, fils, cours une deuxième fois pour un taxi - tu économiseras 5 zlotys!"

Des idées, des idées ! La plupart des idées de comptabilité dite créative reposent sur des vides juridiques (loi écrite sur le genou = merde) et s'éloignent de la notion de moyenne. Voici un exemple : comment augmenter le salaire de tout le monde tout en baissant le salaire moyen ? Simple : donnez une petite augmentation à ceux qui travaillent déjà, et ce faisant, embauchez beaucoup de personnes sous-payées. La moyenne va baisser… et dans le contexte de la masse salariale mondiale, il n'en était pas question. Jusqu'en 1989, un certain directeur d'une entreprise publique aurait agi ainsi.

Vous pouvez vous battre directement, en utilisant l'analphabétisme mathématique de nombreux cercles de la société et en combinant les mathématiques (??) avec la littérature (??). Voici un texte démagogique mais fictif (quoique basé sur une publication réelle, avant 2010 pour l'attention).

Les infirmières s'en porteront mieux. Il y a deux ans, le salaire net moyen d'une infirmière dans le comté de Sochaczew était de 1500 XNUMX PLN. L'année dernière, le gouvernement a augmenté les dépenses de santé d'un demi-milliard de zlotys. Ce sera deux fois plus que les années précédentes. Hermenegilda Kotsyubinskaya, une infirmière du Central Clinical Hospital, raconte : le mois dernier, mon salaire était de 4500 XNUMX PLN. Cela signifie une multiplication par trois des revenus des soins de santé.

Y a-t-il quelqu'un à tromper ? Même si les chiffres sont les mêmes, vous pouvez voir ce que nous comparons ici. salaire moyen à l'hôpital provincial avec le salaire d'une personne au cours d'un mois donné. Peut-être qu'Hermenegilda est à la tête des infirmières, peut-être qu'elle a eu beaucoup d'équipes supplémentaires ce mois-ci, et en plus, le CRH a une grille salariale spéciale ? En outre, les 1500 500 500 PLN mentionnés sont des salaires nets et il n'est pas précisé si le salaire de Mme Kociubinska est net ou brut. Un demi-milliard, c'est énorme pour un individu, mais qu'est-ce que cela signifie au niveau national ? On remarque tout de suite que « un demi-milliard » sonne mieux comme propagande que « 500 millions ». Ce à quoi XNUMX millions de zlotys sont allés n'est pas rapporté. On ne sait pas pourquoi XNUMX millions de zł deux fois plus.

Comment puis-je améliorer mes résultats d'apprentissage? L'école X est critiquée par les autorités éducatives pour ses mauvais résultats scolaires (c'est-à-dire un faible GPA, bien que ce soient des choses différentes !). Le directeur trouve un moyen d'améliorer un peu les choses. Il transfère plusieurs élèves de la classe A à la classe B et atteint son objectif : la note moyenne dans les deux classes a augmenté.

Comment est-ce possible? S'il y a un étudiant dans la classe A dont le GPA est inférieur à la moyenne de la classe A, mais supérieur à la moyenne de la classe C, alors le déplacer vers la classe B aura le même effet. La foi est basée sur cet effet Mechislav Chuma i Leshek Mazan, auteurs de "l'Encyclopédie galicienne" (maison d'édition "Anabasis", Cracovie), que le jour où Sigismond III Vasa et sa cour s'installèrent à Varsovie, le niveau moyen d'intelligence augmenta dans ces deux villes.

Nous avons tendance à interpréter les données. C'est l'étirement non élémentaire le plus courant. Je vais commencer par l'exemple le plus stupide, mais le plus fiable. Il y a de nombreuses années, l'Express Wieczorny, aujourd'hui disparu, rapportait que le salaire moyen à l'Université de Varsovie serait de 15000 24 6 złoty (alors złoty). Le recteur était censé recevoir le salaire le plus élevé, 15, l'assistant novice le plus bas, XNUMX. Moyenne XNUMX !!! Manipulations le concept de la moyenne est un sujet d'habilitation.

Voici deux autres exemples. Savez-vous que la personne moyenne en Pologne a moins de deux jambes ? Eh bien oui : il y en a qui en ont un, mais personne n'en a trois ! Le deuxième exemple est plus subtil. Eh bien, ma femme et moi avons nos propres voitures. Mon porteur consomme beaucoup de carburant, 12,5 litres aux 100 km. Cela signifie que pour 100 km, j'ai besoin de 8 litres. Ma femme a une minuscule Mitsubishi - elle consomme 8 litres aux 100 km. C'est aussi beaucoup, mais pour que les calculs soient simples, les données doivent être traitées un peu. On roule souvent sur le même. Par conséquent, la consommation moyenne de carburant de nos deux voitures est la moyenne arithmétique de 8 et 12,5. Additionnez, divisez par 2. Il s'avère que 10,25 litres. Bien sûr, il est important que nous roulions souvent de la même manière. Où est donc le champ de la manipulation ?

Ah, ici. Saviez-vous que la consommation de carburant aux États-Unis est calculée différemment ? Ils répondront: "Je conduis tant de miles à partir d'un gallon." Laissons de côté la conversion des gallons en litres et des miles en kilomètres, mais appliquons-la aux voitures susmentionnées : la mienne et la seule commission d'examen de notre mariage. Je ne roulerai que 8 km par litre (100 divisé par 12,5), ma femme 12,5 km (100 divisé par 8). En moyenne, un litre nous prendra... la moyenne arithmétique de ces chiffres. Nous l'avons déjà calculé une fois. Il s'avère 10 et quart - cette fois 10,25 kilomètres.

Revenons aux normes européennes. Si je parcours 10,25 km avec un litre, combien de litres faut-il pour 100 ? Prenons une calculatrice : 100 divisé par 10,25 est... 9,76. La consommation moyenne de nos voitures est de 9,76... et avant elle était de 10,25. Où est l'erreur ? Non! En fait, pas en mathématiques, mais dans l'interprétation des mots "nous voyageons tout aussi souvent". Une analyse minutieuse montrera que dans la première interprétation, cela signifie "nous parcourons le même nombre de kilomètres par mois", et dans la seconde "nous utilisons la même quantité d'essence". Une troisième variable pourrait être ajoutée : nous passons le même temps à conduire (la femme conduit beaucoup plus vite)… et ce serait différent. Si nous mesurons quelque chose, nous devons avoir un ruban à mesurer.

situations plus subtiles. Paradoxe de Simpson. Nous explorons ce qui est mieux pour éliminer les pellicules : Coca-Cola ou Pepsi-Cola. Nous testons sur des femmes et des hommes. Voici les données. Presque tous les calculs peuvent être effectués en mémoire.

S'il vous plaît, Lecteur, asseyez-vous. Juste pour ne pas tomber du sentiment. Quelle est la meilleure boisson pour éliminer les pellicules chez les hommes ? J'ai marqué les plus grands nombres en rouge et les plus petits en bleu. 25 c'est plus que 20, non ? Messieurs : achetez du Coca pour les pellicules ! Qu'en est-il des femmes ? Probablement l'inverse ? Non, 60> 53. Mesdames, prenez un Coca.

L'entreprise achète des publicités à la télévision, où un couple heureux (à l'ancienne : un homme et une femme) se débarrasse de ce mal bénin avec l'aide de Coca-Cola. Mais il y a une pub Pepsi. Eh bien, parce qu'il y avait 250 personnes sur le test à la fois ici et ici, ce qui signifie qu'elles étaient également réparties. Coca-Cola a aidé 80 personnes (32%), Pepsi a aidé 100 personnes, 40%. A l'écran, la foule se débarrasse de ses pellicules tandis qu'une canette de Pepsi roule devant la caméra. « Notre génération a déjà choisi !

Où est l'erreur ? Non. Je veux dire, le calcul est bon. Ou plutôt juste arithmétique. Pour être mathématiquement correct, il faut prendre des échantillons comparables avec la même proportion de M que de K. Sinon, les calculs n'ont pas de sens, comme si on calculait le poids moyen d'un moustique et d'un éléphant. On peut additionner et diviser par deux. Qu'avons-nous calculé ? Eh bien, le poids moyen d'un moustique et d'un éléphant. Que va-t-il nous apporter ? Un fil.

Mais passons à la politique, aux États-Unis, bien sûr. Les partisans de l'un des candidats, diront Bump, crieraient : nous sommes meilleurs pour mesdames et messieurs. Votez pour Jozef Podskok ! Les partisans de Triden écriraient sur des banderoles : Nous sommes les meilleurs au monde. Votez canard aux 3 tanières (Donald).

D'accord, comment est-ce vraiment? C'est la partie la plus difficile. Que veut dire "vraiment" ? Nous pouvons dire : « Vrai est ce qui s'accorde avec la réalité. Cependant, une autre question se pose : comment mesurer la "correspondance à la réalité" ? Mais ce ne sont plus des mathématiques, et je voudrais m'y tenir, car ce n'est qu'ici que je me sens en confiance.

À propos de ce paradoxe (appelé Le paradoxe de Simpson) est basé sur beaucoup, beaucoup d'autres. Elle est connue en mathématiques depuis cent ans, mais depuis (relativement) récemment les sciences sociales s'y sont intéressées. Tout a commencé avec le fait que dans l'une des universités américaines, le recteur a remarqué que les filles étaient beaucoup moins acceptées que les garçons. Elle a demandé des rapports aux doyens... et il s'est avéré que dans toutes les facultés le ratio d'acceptés par candidats était plus élevé pour les filles que pour les garçons - et bien au contraire. Je recommande au lecteur de replacer l'exemple de Pepsi et Coca-Cola dans la situation des départements universitaires.

Une situation encore plus subtile. Tout le monde dans le monde mathématique connaît "l'exemple du Nebraska". Quelque part dans le Nebraska, un magasin a été saccagé et une caisse enregistreuse a été cambriolée. Les témoins se sont seulement souvenus que cela avait été fait par un couple étrange : un homme à la peau foncée avec une barbe et une femme aux traits orientaux. Ils sont partis (les pneus crissent comme dans le film) dans une Toyota jaune. Quelques heures plus tard, la police a interpellé... une Toyota jaune, dans laquelle se trouvait un Afro-Américain barbu, accompagné d'une femme asiatique. "C'est toi!". Menottes, cour. Un mathématicien expérimenté a calculé qu'un tel ensemble (nègre + asiatique + Toyota jaune) est si unique que 99,999% des voleurs sont recherchés. Il jeta dans la salle des termes mémorisés : événements élémentaires, diagramme de Bernoulli, conjonction. Le couple est allé s'asseoir. Cependant, ils ont embauché le meilleur mathématicien, qui a déclaré dans un appel : « Bien. Jugez par vous-même, mon prédécesseur a calculé que la probabilité qu'une voiture rencontrée au hasard avec deux passagers soit une Toyota jaune avec une noire et une femme japonaise est telle ou telle. Mais ici, nous devons résoudre un autre problème, la probabilité conditionnelle. Quelle est la probabilité de rencontrer une autre paire (ou trois, si vous allumez la machine), si nous savons qu'une telle existe déjà. »

Nous ne savons pas si le juge a compris l'un des arguments. Peut-être seulement que la réponse dépend du choix de la situation. C'était assez. Il a annulé la peine.

Un coup à la tête avec une perche. Nous avons toujours traité d'une telle démagogie (1).

Les bars sont terribles : les prix du charbon ont doublé. Regarder les chiffres est rassurant : ils sont en effet passés de 161 PLN la tonne à 169 PLN (exercice : de quel pourcentage ?). Mais comme la plupart des gens apprennent visuellement, ils se souviendront du graphique, pas des chiffres. Sans entrer dans des discussions politiques, je dois dire qu'une méthode similaire a été utilisée par le gouvernement (celle de l'été 2020), imaginant une augmentation des dépenses sur le cancer. Ce n'est pas une critique de ce gouvernement. Le prochain utilisera également cette méthode. Il est sans danger et donne un effet immédiat ("vu").

Portons des masques. Les lois de propagation des épidémies sont simples et « en elles-mêmes » inexorables. Le nombre de personnes infectées augmente plus vite, plus il y en a déjà. Ainsi va l'avalanche. C'est ce que disent les maths. Il y a cependant un gros "mais" - peut-être plus d'un. Premièrement, il en est ainsi, alors que "rien ne se passe". Lorsque l'avalanche dans la forêt sera arrêtée, lorsque l'épidémie sera ralentie par le comportement avisé de chacun d'entre nous, alors nous ne «remercierons» pas tant les mathématiques que nous créerons un modèle différent. Oui, un modèle mathématique différent (comme dans l'exemple du vol dans un magasin du Nebraska). Les mathématiques, une belle science, ne font qu'aider à comprendre le monde. Tant, mais seulement tant. Voyons : on saute presque six mètres avec une perche, sans elle on ne peut même pas sauter 2,50. Prenez ensuite la perche dans votre main et sautez. C'est un sacré embêtant, n'est-ce pas ?

utiliser mathématiques en sciences sociales c'est difficile, dangereux, et pire, tentant. Les connaisseurs des Tatras l'associent au ravin de Drege : une douce descente herbeuse des Grenats à Chyorny Stav... Voilà à quoi ça ressemble d'en haut. Bientôt, le ravin se transforme en un piège dont seul TOPR, le Tatra Volunteer Rescue Service, peut nous sauver.

Les mathématiciens appellent cette augmentation des avalanches et des épidémies une croissance exponentielle. Comme je l'ai déjà écrit, cette croissance peut être supprimée, mais pas encore. Cependant, regardons deux tracés de la même courbe (juste à une échelle différente). Qui comprendra, je donne la formule de cette fonction : y = 2^xdeux au pouvoir. Veuillez consulter les graphiques. A partir de quel moment se produit l'accélération rapide de la croissance ? Tout le monde l'indiquera : il est plus ou moins proche du point marqué d'un gros point. Mais sur le premier graphique cette valeur est proche de 1,5, sur le second elle est supérieure à 3, et sur le troisième elle est de 4,5. S'il y aura alors une sorte de manifestation de rue, alors nous pourrons dire: s'il vous plaît, à partir du moment de la manifestation, la courbe a augmenté, a fortement augmenté. A la gloire des mathématiques ! Et ce n'est qu'une propriété de la courbe exponentielle. L'échelle et le point correspondants à partir desquels l'accélération rapide commence peuvent être choisis librement (2).

Élections présidentielles… aux États-Unis, bien sûr. On se souvient encore de la farce de novembre 2020. Le pays, qui reste la puissance n°1, n'a pas fait face au nombre de pages. En fin de compte, il s'est avéré que Joe Biden non seulement il a remporté plus de votes électoraux, mais il l'aurait gagné si la décision avait été prise à la majorité simple. Dans la situation que je vais décrire, il n'y a pas de manipulation mathématique - juste un exemple de la façon dont le résultat des élections peut dépendre de la résolution adoptée. Si vous savez, il est difficile de protester. Un défenseur dans le football peut considérer que l'interdiction du handball est une erreur, mais si elle est ignorée, une pénalité sera accordée.

Imaginez que les personnes suivantes se présentent à la présidence de la Grèce : Apollon, Euclide, Heron, Pythagoras i Tel. Celui que les électeurs choisiront deviendra président. Ils sont 100. Ils ont été élus au suffrage universel, puis les partis représentés au Parlement, c'est-à-dire le Circus Maximus, ont établi l'ordre de leurs préférences. Quelque chose ne va pas parce que Circus Maximus est un nom latin, pas grec. Mais ne discutons pas avec les sources.

Qui deviendra président ? Voyons comment cela dépend de l'ordination. Les préférences du parti doivent être comprises de manière à ce que ses électeurs votent pour la première personne de la liste qui reste aux élections après le tour suivant.

1. Si le règlement stipule que le candidat qui place le plus d'électeurs à la première place l'emporte, Pythagore l'emportera, car il sera élu par 25 + 9 = 34 électeurs. C'est ce qui se passe à l'école quand on choisit, par exemple, le meilleur élève. Chez nous : Pythagore est élu par le peuple !
2. Dans les élections présidentielles modernes, le système du second tour est le plus souvent utilisé. Nous votons pour un candidat, mais si aucun d'entre eux ne dépasse 50 %, un second tour est organisé. Le vainqueur est celui qui obtient la majorité absolue des voix, c'est-à-dire simplement plus de voix que son adversaire. Dans ce scénario, Pythagore (34 voix) et Thalès (20) iront au second tour. Au second tour, les électeurs répartissent leurs voix selon leurs préférences. Tous sauf les Pythagoriciens préfèrent Thalès à Pythagore. Il s'agit d'une situation courante où un parti a un électorat difficile et est entouré d'une réticence générale. Ainsi, dans le temps supplémentaire, Pythagore ne recevra pas un seul vote. Résultat 66:34 en faveur de Thales et une victoire décisive. Une situation similaire s'est produite en 2001 en Slovaquie, où un candidat qui a clairement remporté le premier tour a perdu au second. Il en a été de même lors des élections présidentielles en Pologne en 2005 : le leader a été battu au second après le premier tour. Vive les contes présidentiels !
3. En cyclisme, on utilise le système dit australien. Après chaque tour de piste, le dernier est éliminé. Cette version de la loi électorale s'appelle "l'élection des administrateurs". Dans ce système, le premier président de la Pologne indépendante, Gabriel Narutowicz, a été élu. A quoi cela ressemblerait-il dans notre Grèce ?

L'affaire est plus compliquée. Veuillez suivre. Au premier tour, Euclide a reçu le moins de voix et a abandonné (quel dommage, un si bon mathématicien !). Le parti vote alors au second tour pour le deuxième de sa liste : Tsaplya. Au second tour, Heron a 19 + 10 = 29 voix. Apollonius est éliminé (17 voix). Parti, puis votez pour Heron. Au troisième tour Pythagore (électorat fixe) dispose de 34 voix, Thalès 20 et Héron 29 + 17 = 46 voix. Les histoires sont sorties. Les Falésiens (Parti B) n'aiment pas non plus les Pythagoriciens - ils préfèrent les hérauts. D'autres aussi, à l'exception des parties stables A et E. Dans le tour final, Heron bat facilement Pythagoras 66:34. Vivat Président Héron !

     4. Au Concours Eurovision de la chanson, 12 points ont été attribués pour la première place de la liste, 10 pour la deuxième place, 9 pour la troisième, etc. Supposons à peu près le même score 6-4-3-2-1. Ainsi, des points ont été attribués lors de trois matches d'athlétisme (trois équipes, deux joueurs dans chaque compétition, en 1958, la Pologne a gagné contre les États-Unis et la Grande-Bretagne !). Nos résultats seront les suivants :

Euklides:       4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz:  2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras:     6+1+1+1+1+6=16.

Grecs, voici votre président Euclide !

     5. Les lecteurs supposent qu'il suffit de compter les votes pour qu'Apollonius soit le meilleur. En effet, Apollonius est le meilleur - parce qu'il est le meilleur. Tout le monde perd face à Apollonius ! Pourquoi?

Pour combien d'électeurs ont placé Apollonius au-dessus de Héron ? Calculons : 25+17+9=51 signifie majorité. Pas grand-chose, mais quand même.

Quelle distance a Apollonios d'avance sur Euclide ? 20 + 19 + 17 = 56, la plupart d'entre eux.

Combien préfèrent Apollonius à Thales : 19+17+10+9=55>50.

Enfin, Apollonius de Pythagore préfère 20 + 19 + 17 + 10 = 66 électeurs sur 100.

Depuis lors - le peuple grec, capable de penser logiquement - depuis lors, surtout, Apollonius préfère tout autre candidat ; après tout, c'est lui qui devrait nous gouverner pour le prochain mandat ! Approchez-vous, Apollonius, notre président élu ! Vous serez notre 44.

Voir aussi: