Carrés colorés et éclipses solaires

L'article décrit mes cours pour les collégiens - boursiers du Fonds national pour l'enfance. La fondation recherche des enfants et des jeunes particulièrement doués (de la XNUMXe année du primaire au secondaire) et offre des « bourses » à des élèves sélectionnés. Cependant, ils ne consistent pas du tout à retirer de l'argent, mais à prendre en charge de manière globale le développement des talents, en règle générale, sur de nombreuses années. Contrairement à de nombreux autres projets de ce type, des scientifiques bien connus, des personnalités culturelles, des humanistes éminents et d'autres sages, ainsi que certains politiciens, prennent au sérieux les pupilles de la Fondation.

Les activités de la Fondation s'étendent à toutes les disciplines qui sont des matières scolaires de base, à l'exception des sports, y compris l'art. Le fonds a été créé en 1983 comme antidote à la réalité d'alors. N'importe qui peut postuler au fonds (généralement par l'intermédiaire d'une école, de préférence avant la fin de l'année scolaire), mais, bien sûr, il existe un certain tamis, une certaine procédure de qualification.

Comme je l'ai déjà mentionné, l'article est basé sur mes cours de maître, plus précisément à Gdynia, en mars 2016, au 24e collège du lycée III. Marine. Depuis de nombreuses années, ces séminaires sont organisés sous les auspices de la Fondation par Wojciech Thomalczyk, un enseignant au charisme extraordinaire et au haut niveau intellectuel. En 2008, il est entré dans le top dix polonais, qui a reçu le titre de professeur de pédagogie (prévu par la loi il y a de nombreuses années). Il y a une légère exagération dans l'affirmation : « L'éducation est l'axe du monde ».

et la lune sont toujours fascinants - alors vous pouvez sentir que nous vivons sur une petite planète dans un espace immense, où tout est en mouvement, mesuré en centimètres et en secondes. Ça me fait même un peu peur, aussi le point de vue temporel. Nous apprenons que la prochaine éclipse totale, visible depuis la région de Varsovie d'aujourd'hui, aura lieu en ... 2681. Je me demande qui va le voir ? Les tailles apparentes du Soleil et de la Lune dans notre ciel sont presque les mêmes - c'est pourquoi les éclipses sont si courtes et si spectaculaires. Pendant des siècles, ces courtes minutes devraient suffire aux astronomes pour voir la couronne solaire. C'est étrange qu'ils se produisent deux fois par an... mais cela signifie seulement que quelque part sur Terre, ils peuvent être vus pendant une courte période. À la suite des mouvements de marée, la Lune s'éloigne de la Terre - dans 260 millions d'années, elle sera si loin que nous (nous ???) ne verrons que des éclipses annulaires.

Apparemment le premier à prédire éclipse, était Thalès de Milet (28-585 siècles avant JC). Nous ne saurons probablement pas si cela s'est réellement produit, c'est-à-dire s'il l'a prédit, car le fait que l'éclipse en Asie Mineure se soit produite le 567 mai 566 av. J.-C. est un fait confirmé par des calculs modernes. Bien sûr, je cite des données pour le compte du temps d'aujourd'hui. Quand j'étais enfant, j'imaginais comment les gens comptaient les années. Nous sommes donc, par exemple, XNUMX BC, le réveillon du Nouvel An approche et les gens se réjouissent: seulement XNUMX ans BC! Comme ils ont dû être heureux quand « notre ère » est enfin arrivée ! Quel tournant de millénaires avons-nous vécu il y a quelques années !

Les mathématiques du calcul des dates et des plages éclipse, n'est pas particulièrement compliqué, mais regorge de toutes sortes de facteurs liés à la régularité et, pire encore, au mouvement inégal du corps en orbite. J'aimerais même connaître ce calcul. Comment Thalès de Milet a-t-il pu faire les calculs nécessaires ? La réponse est simple. Vous devez avoir une carte du ciel. Comment faire une telle carte ? Ce n'est pas non plus difficile, les anciens Égyptiens savaient le faire. A minuit, deux prêtres sortent sur le toit du temple. Chacun s'assied et dessine ce qu'il voit (comme son collègue). Après deux mille ans, on sait tout sur le mouvement des planètes...

Belle géométrie, ou plaisir sur le "tapis"

Les Grecs n'aimaient pas les chiffres, ils avaient recours à la géométrie. C'est ce que nous allons faire. Notre éclipse ils seront simples, colorés, mais tout aussi intéressants et réels. Nous acceptons la convention selon laquelle la figure bleue se déplace de telle manière qu'elle éclipse la rouge. Appelons le chiffre bleu la lune et le chiffre rouge le soleil. Nous nous posons les questions suivantes :

1. combien de temps dure une éclipse;
2. lorsque la moitié de la cible est couverte ;

   Riz. 1 "tapis" multicolore avec le soleil et la lune

3. quelle est la couverture maximale ;
4. est-il possible d'analyser la dépendance de la couverture du bouclier au temps ? Dans cet article (je suis limité par la quantité de texte), je vais me concentrer sur la deuxième question. Derrière cela se cache une belle géométrie, peut-être sans calculs ennuyeux. Regardons la fig. 1. Peut-on supposer qu'il sera associé à ... une éclipse solaire ?

Je dois honnêtement dire que les tâches dont je vais parler seront spécialement sélectionnées, adaptées aux connaissances et compétences des collégiens et lycéens. Mais nous nous entraînons sur des tâches telles que les musiciens jouent des gammes et les athlètes font des exercices de développement généraux. D'ailleurs, n'est-ce pas juste un beau tapis (fig. 1) ?

Riz. 2 Lune "bleue" et Soleil "rouge"

Nos corps célestes, du moins dans un premier temps, seront des carrés de couleur. La lune est bleue, le soleil est rouge (meilleur pour la coloration). avec le présent éclipse La lune poursuit le soleil dans le ciel, le rattrape... et le ferme. Ce sera pareil pour nous. Le cas le plus simple, lorsque la Lune se déplace par rapport au Soleil, comme le montre la Fig. 2. Une éclipse commence lorsque le bord du disque de la Lune touche le bord du disque du Soleil (Fig. 2) et se termine lorsqu'il le dépasse.

Riz. 3 La lune s'approche du soleil en diagonale

Nous supposons que la "Lune" se déplace d'une cellule par unité de temps, par exemple, par minute. L'éclipse dure alors huit unités de temps, disons des minutes. Demi éclipses solaires complètement atténuée La moitié du cadran est fermée deux fois : après 2 et 6 minutes. Le graphique du pourcentage d'obscurcissement est simple. Pendant les deux premières minutes, le bouclier se ferme uniformément à un taux de zéro à 1, les deux minutes suivantes, il est exposé au même taux.

Voici un exemple plus intéressant (Fig. 3). La lune s'approche du soleil en diagonale. Selon notre accord de paiement à la minute, l'éclipse dure 8√2 minutes - au milieu de cette période, nous avons une éclipse totale. Calculons quelle partie du soleil est couverte après le temps t (Fig. 3). Si t minutes se sont écoulées depuis le début de l'éclipse et que, par conséquent, la Lune est telle qu'illustrée à la Fig. 5, alors (attention!) Par conséquent, il est couvert (l'aire du carré APQR), égal à la moitié du disque solaire; donc, il a été couvert quand, c'est-à-dire après 4 minutes (puis 4 minutes avant la fin de l'éclipse).

Riz. 4 Graphique de la fonction "shading"

Totalité dure un instant (t = 4√2), et le graphe de la fonction "partie ombrée" est constitué de deux arcs de paraboles (Fig. 4).

Notre lune bleue touchera le coin avec le soleil rouge, mais elle le couvrira, n'allant pas en diagonale, mais légèrement en diagonale.Une géométrie intéressante apparaît lorsque nous compliquons un peu le mouvement (Fig. 6). La direction du mouvement est maintenant vecteur [4,3], c'est-à-dire "quatre cellules vers la droite, trois cellules vers le haut". La position du Soleil est telle que l'éclipse commence (position A) lorsque les côtés des "corps célestes" convergent sur un quart de leur longueur. Lorsque la Lune se déplacera en position B, elle éclipsera un sixième du Soleil, et en position C, elle éclipsera la moitié. En position D, nous avons une éclipse totale, puis tout redevient "comme avant".

Riz. 5 Partie du Soleil cachée pendant le temps t

L'éclipse se termine lorsque la Lune est en position G. Elle a duré aussi longtemps que longueur de section AG. Si, comme précédemment, on prend comme unité de temps le temps pendant lequel la Lune passe "d'un carré", alors la longueur de l'AG est égale. Si nous revenions à l'ancienne convention selon laquelle nos corps célestes sont 4 par 4, le résultat serait différent (quoi ?). Comme il est facile de le montrer, la cible se ferme après t < 15. Le graphique de la fonction "pourcentage de couverture d'écran" peut être vu sur la fig. 6.

Riz. 6 Graphique de la fonction "pourcentage de protection"

Éclipse et équation de saut

Riz. 7 Obstruction du disque solaire pendant l'éclipse illustrée à la fig. 6

Le problème des éclipses serait incomplet si l'on ne considérait pas le cas des cercles. C'est beaucoup plus compliqué, mais essayons de comprendre quand un cercle éclipse la moitié de l'autre - et dans le cas le plus simple, quand l'un d'eux se déplace le long du diamètre qui les relie tous les deux. Le dessin est familier aux détenteurs de certaines cartes de crédit.

Le calcul de la position des champs est compliqué, car il nécessite, d'une part, la connaissance de la formule de l'aire d'un segment circulaire, d'autre part, la connaissance de l'arc de l'angle, et troisièmement (et le pire de tout), la capacité pour résoudre une certaine équation de saut. Je n'expliquerai pas ce qu'est une "équation transitive", regardons un exemple (Fig. 8).

Riz. 8 Eclipse "sphérique"

Une section circulaire est la "coupe" qui reste après avoir coupé un cercle avec une ligne droite. L'aire d'un tel segment est S = 1/2r²(φ-sinφ), où r est le rayon du cercle, et φ est l'angle au centre sur lequel repose le segment (Fig. 8). Ceci est facilement obtenu en soustrayant l'aire du triangle de l'aire du secteur circulaire.

Épisode O₁O₂ (la distance entre les centres des cercles) est alors égale à 2rcosφ/2, et la hauteur (largeur, « tour de taille ») h = 2rsinφ/2. Ainsi, si nous voulons calculer quand la Lune couvrira la moitié du disque solaire, nous devons résoudre l'équation : qui, après simplification, devient :

Riz. 9 Graphiques de deux fonctions

La solution de telles équations va au-delà de la simple algèbre - l'équation contient à la fois des angles et leurs fonctions trigonométriques. L'équation est hors de portée des méthodes traditionnelles. C'est pourquoi il s'appelle sauter. Regardons d'abord les graphiques des deux fonctions, c'est-à-dire les fonctions et les fonctions. Nous pouvons lire une solution approximative à partir de cette figure. Cependant, nous pouvons obtenir une approximation itérative ou… utiliser l'option Solveur dans la feuille de calcul Excel. Chaque élève du secondaire devrait pouvoir le faire, car nous sommes au XXe siècle. J'ai utilisé un outil Mathematica plus sophistiqué et voici notre solution avec 20 décimales de précision inutile :

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Riz. 10 Animation d'éclipse dans matematica

Nous transformons cela en degrés en multipliant par 180/π. Nous obtenons 132 degrés, 20 minutes, 45 et un quart de seconde d'arc. Nous calculons que la distance au centre du cercle est O₁O₂ = 0,808 rayon et "taille" 2,310.