Voyage dans le monde irréel des mathématiques

J'ai écrit cet article dans l'un des environnements, après une conférence et une pratique dans un collège d'informatique. Je me défends contre les critiques des élèves de cette école, leurs connaissances, leur attitude envers la science et, surtout, leurs compétences pédagogiques. Ça... personne ne leur apprend.

Pourquoi suis-je si défensif ? Pour une raison simple - je suis à un âge où, probablement, le monde qui nous entoure n'est pas encore compris. Peut-être que je leur apprends à atteler et désatteler des chevaux, et non à conduire une voiture ? Peut-être que je leur apprends à écrire avec une plume d'oie ? Bien que j'aie une meilleure opinion d'une personne, je me considère comme « suivant », mais…

Jusqu'à récemment, au lycée, ils parlaient de nombres complexes. Et c'est ce mercredi que je suis rentré à la maison, j'ai arrêté - presque aucun des étudiants n'a encore appris ce que c'est et comment utiliser ces chiffres. Certains regardent toutes les mathématiques comme une oie sur une porte peinte. Mais j'ai aussi été vraiment surpris quand ils m'ont dit comment apprendre. Pour faire simple, chaque heure de cours magistral correspond à deux heures de devoirs : lire un manuel, apprendre à résoudre des problèmes sur un sujet donné, etc. Après s'être préparés de cette manière, nous arrivons aux exercices, où nous améliorons tout ... Agréablement, les étudiants, apparemment, pensaient que s'asseoir au cours - le plus souvent en regardant par la fenêtre - garantissait déjà l'entrée des connaissances dans la tête.

Arrêter! Assez de ça. Je vais décrire ma réponse à une question que j'ai reçue lors d'un cours avec des boursiers du National Children's Fund, une institution qui soutient les enfants talentueux de tout le pays. La question (ou plutôt la suggestion) était :

— Pourriez-vous nous dire quelque chose sur les nombres irréels ?

"Bien sûr," répondis-je. 

La réalité des chiffres

"Un ami est un autre moi, l'amitié est le rapport des nombres 220 et 284", disait Pythagore. Le point ici est que la somme des diviseurs du nombre 220 est 284, et la somme des diviseurs du nombre 284 est 220 :

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Une autre coïncidence intéressante entre les nombres 220 et 284 est la suivante : les dix-sept nombres premiers les plus élevés sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , et 59.

Leur somme est 2x220 et la somme des carrés est 59x284.

D'abord. Il n'y a pas de concept de "nombre réel". C'est comme après avoir lu un article sur les éléphants, vous demandez : "Maintenant, nous allons demander des non-éléphants." Il y a des entiers et des non-entiers, des rationnels et des irrationnels, mais il n'y a pas d'irréel. Spécifiquement: les nombres qui ne sont pas réels ne sont pas appelés invalides. Il existe de nombreux types de "nombres" en mathématiques, et ils diffèrent les uns des autres, comme - pour prendre une comparaison zoologique - un éléphant et un ver de terre.

Dans un deuxième temps, nous effectuerons des opérations que vous savez peut-être déjà interdites : extraire les racines carrées des nombres négatifs. Eh bien, les mathématiques surmonteront ces obstacles. Cela a-t-il un sens? En mathématiques, comme dans toute autre science, le fait qu'une théorie entre pour toujours dans le référentiel des connaissances dépend... de son application. Si c'est inutile, alors ça finit à la poubelle, puis dans quelques rebuts de l'histoire des savoirs. Sans les chiffres dont je parle à la fin de cet article, il est impossible de développer les mathématiques. Mais commençons par quelques petites choses. Quels sont les nombres réels, vous savez. Ils remplissent la droite numérique de manière dense et sans lacunes. Vous savez également ce que sont les nombres naturels : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - tous ne conviendront pas souvenir même le plus grand. Ils ont aussi un beau nom : naturel. Ils ont tellement de propriétés intéressantes. Comment aimes-tu cela:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

« Il est naturel de s'intéresser aux nombres naturels », a déclaré Karl Lindenholm, et Leopold Kronecker (1823-1891) l'a dit succinctement : « Dieu a créé les nombres naturels, tout le reste est l'œuvre de l'homme ! Les fractions (appelées nombres rationnels par les mathématiciens) ont aussi des propriétés étonnantes :

et à égalité :

vous pouvez, en partant du côté gauche, frotter les plus et les remplacer par des signes de multiplication - et l'égalité restera vraie :

Et ainsi de suite.

Comme vous le savez, pour les fractions a/b, où a et b sont des entiers, et b ≠ 0, ils disent nombre rationnel. Mais ce n'est qu'en polonais qu'ils s'appellent ainsi. Ils parlent anglais, français, allemand et russe. nombre rationnel. En anglais : nombres rationnels. Nombres irrationnels c'est irrationnel, irrationnel. Nous parlons aussi polonais des théories, des idées et des actes irrationnels - c'est de la folie, de l'imaginaire, de l'inexplicable. On dit que les femmes ont peur des souris, n'est-ce pas si irrationnel ?

Dans les temps anciens, les nombres avaient une âme. Chacun signifiait quelque chose, chacun symbolisait quelque chose, chacun reflétait une particule de cette harmonie de l'Univers, c'est-à-dire, en grec, le Cosmos. Le mot même "cosmos" signifie exactement "ordre, ordre". Les plus importants étaient six (le nombre parfait) et dix, la somme des nombres consécutifs 1+2+3+4, composée d'autres nombres dont le symbolisme a survécu jusqu'à ce jour. Ainsi Pythagore a enseigné que les nombres sont le commencement et la source de tout, et que seule la découverte nombres irrationnels orienta le mouvement pythagoricien vers la géométrie. Nous connaissons le raisonnement de l'école qui

√2 est un nombre irrationnel

Car supposons qu'il y ait : et que cette fraction ne puisse pas être réduite. En particulier, p et q sont impairs. Faisons le carré : 2q²=p². Le nombre p ne peut pas être impair, puisque p² serait également, et sur le côté gauche de l'égalité, il y a un multiple de 2. Par conséquent, p est pair, c'est-à-dire p = 2r, donc p²= 4r². On réduit l'équation 2q²= 4r² par 2. On obtient q²= 2r² et nous voyons que q doit aussi être pair, ce que nous supposons qu'il n'en est pas ainsi. La contradiction résultante complète la preuve - cette formule se trouve souvent dans tous les livres de mathématiques. Cette preuve circonstancielle est une astuce favorite des sophistes.

Cette immensité ne pouvait être comprise par les Pythagoriciens. Tout doit pouvoir être décrit par des chiffres, et la diagonale d'un carré, que n'importe qui peut tracer avec un bâton sur le sable, n'a pas de longueur, c'est-à-dire mesurable. « Notre foi a été vaine », semblent dire les pythagoriciens. Comment? C'est un peu... irrationnel. L'Union tenta de se sauver par des méthodes sectaires. Quiconque ose révéler son existence nombres irrationnels, devait être puni de mort et, apparemment, la première peine a été exécutée par le maître lui-même.

Mais "la pensée est passée indemne". L'âge d'or est arrivé. Les Grecs ont vaincu les Perses (Marathon 490, Bloc 479). La démocratie a été renforcée, de nouveaux centres de pensée philosophique et de nouvelles écoles ont vu le jour. Les pythagoriciens étaient encore aux prises avec des nombres irrationnels. Certains ont prêché : nous ne comprendrons pas ce mystère ; on ne peut que contempler et s'émerveiller devant Uncharted. Ces derniers étaient plus pragmatiques et ne respectaient pas le Mystère. A cette époque apparaissent deux constructions mentales qui permettent de comprendre les nombres irrationnels. Le fait que nous les comprenions assez bien aujourd'hui appartient à Eudoxe (Ve siècle av. J.-C.), et ce n'est qu'à la fin du XIXe siècle que le mathématicien allemand Richard Dedekind a donné à la théorie d'Eudoxe le développement approprié conformément aux exigences d'une recherche rigoureuse. logique mathématique.

Masse de chiffres ou torture

Pourriez-vous vivre sans chiffres ? Même si ce que serait la vie... Il faudrait aller au magasin pour acheter des chaussures avec un bâton, dont on mesurait auparavant la longueur du pied. "Je voudrais des pommes, ah, ça y est !" – nous montrerions des vendeurs sur le marché. "Quelle distance y a-t-il entre Modlin et Nowy Dwur Mazowiecki" ? "Assez proche!"

Les nombres servent à mesurer. Avec leur aide, nous exprimons également de nombreux autres concepts. Par exemple, l'échelle de la carte montre à quel point la superficie du pays a diminué. Une échelle de deux à un, ou simplement 2, exprime le fait que quelque chose a doublé de taille. Disons mathématiquement : à chaque homogénéité correspond un nombre - son échelle.

Tâche. Nous avons fait une copie xérographique en agrandissant l'image plusieurs fois. Ensuite, le fragment agrandi a de nouveau été agrandi b fois. Quelle est l'échelle de grossissement générale ? Réponse : a × b multiplié par b. Ces échelles doivent être multipliées. Le nombre "moins un", -1, correspond à une précision centrée, c'est-à-dire tournée de 180 degrés. A quel nombre correspond un virage à 90 degrés ? Il n'y a pas de tel numéro. C'est, c'est… ou plutôt, ce sera bientôt. Êtes-vous prêt pour la torture morale ? Prenez courage et prenez la racine carrée de moins un. J'écoute? Qu'est-ce que tu ne peux pas ? Après tout, je t'ai dit d'être courageuse. Tirez! Hé, eh bien, tirez, tirez... Je vais vous aider... Ici : -1 Maintenant que nous l'avons, essayons de l'utiliser... Bien sûr, maintenant nous pouvons extraire les racines de tous les nombres négatifs, pour Exemple.:

√-4 = 2√-1, √- 16 = 4√-1

"Indépendamment de l'angoisse mentale que cela implique." C'est ce qu'écrivait Girolamo Cardano en 1539, essayant de surmonter les difficultés mentales associées à - comme on l'appela bientôt - quantités imaginaires. Il considérait ces...

...Tâche. Divisez 10 en deux parties dont le produit est 40. Je me souviens que dans l'épisode précédent, il avait écrit quelque chose comme ceci : Certainement impossible. Cependant, faisons ceci: divisez 10 en deux parties égales, chacune égale à 5. Multipliez-les - cela s'est avéré 25. Du 25 résultant, soustrayez maintenant 40, si vous le souhaitez, et vous obtenez -15. Maintenant regardez : √-15 additionné et soustrait de 5 vous donne le produit de 40. Ce sont les nombres 5-√-15 et 5 + √-15. La vérification du résultat a été effectuée par Cardano comme suit :

"Peu importe le chagrin que cela implique, multipliez 5 + √-15 par 5-√-15. Nous obtenons 25 - (-15), ce qui équivaut à 25 + 15. Ainsi, le produit est 40 .... C'est vraiment difficile."

Eh bien, combien font : (1 + √-1) (1-√-1) ? Multiplions. Rappelez-vous que √-1 × √-1 = -1. Génial. Maintenant une tâche plus difficile : de a + b√-1 à ab√-1. Qu'est-il arrivé? Certes, comme ceci : (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Qu'y a-t-il d'intéressant à cela ? Par exemple, le fait que nous puissions factoriser des expressions que nous « ne connaissions pas auparavant ». La formule de multiplication abrégée pour²-b² Vous souvenez-vous de la formule de²+b² ce n'était pas le cas, parce que cela ne pouvait pas l'être. Dans le domaine des nombres réels, le polynôme²+b² c'est inévitable. Désignons "notre" racine carrée de "moins un" par la lettre i.²= -1. C'est un nombre premier "irréel". Et c'est ce qui décrit un virage à 90 degrés d'un avion. Pourquoi? Après tout,²= -1, et la combinaison d'une rotation de 90 degrés et d'une autre rotation de 180 degrés donne une rotation de 45 degrés. Quel type de rotation est décrit ? Évidemment un virage à XNUMX degrés. Que signifie le -i ? C'est un peu plus compliqué :

(-JE)² = -je × (-i) = + je² = -1

Donc -i décrit également une rotation de 90 degrés, juste dans le sens opposé à la rotation de i. Lequel est de gauche et lequel est de droite ? Vous devez prendre rendez-vous. Nous supposons que le nombre i spécifie une rotation dans un sens que les mathématiciens considèrent comme positif : le sens antihoraire. Le nombre -i décrit la rotation dans la direction dans laquelle les pointeurs se déplacent.

Mais est-ce que les nombres comme i et -i existent ? Sont! Nous venons de leur donner vie. J'écoute? Qu'ils n'existent que dans notre tête ? Eh bien à quoi s'attendre? Tous les autres nombres n'existent également que dans notre esprit. Nous devons voir si nos nombres de nouveau-nés survivent. Plus précisément, si la conception est logique et si elle sera utile à quelque chose. Veuillez me croire sur parole que tout est en ordre et que ces nouveaux numéros sont vraiment utiles. Des nombres comme 3+i, 5-7i, plus généralement : a+bi sont appelés des nombres complexes. Je vous ai montré comment vous pouvez les obtenir en faisant tourner l'avion. Ils peuvent être entrés de différentes manières : comme des points dans un plan, comme des polynômes, comme des sortes de tableaux numériques... et à chaque fois ils sont identiques : l'équation x² +1=0 il n'y a pas d'élément... hocus pocus est déjà là !!!! Réjouissons-nous et réjouissons-nous !!!

Fin de tournée

Ceci conclut notre première tournée au pays des faux numéros. Parmi les autres nombres surnaturels, je mentionnerai également ceux qui ont un nombre infini de chiffres devant, et non derrière (ils sont appelés 10-adiques, pour nous p-adiques sont plus importants, où p est un nombre premier), pour exemple X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Comptons X s'il vous plait². Parce que? Et si on calculait le carré d'un nombre suivi d'un nombre infini de chiffres ? Eh bien, faisons de même. On sait que x² = X

Trouvons un autre nombre de ce type avec un nombre infini de chiffres devant qui satisfait l'équation. Indice : le carré d'un nombre qui se termine par six se termine également par six. Le carré d'un nombre qui se termine par 76 se termine également par 76. Le carré d'un nombre qui se termine par 376 se termine également par 376. Le carré d'un nombre qui se termine par 9376 se termine également par 9376. Le carré d'un nombre qui se termine par XNUMX le … Il y a aussi des nombres qui sont si petits que, étant positifs, ils restent plus petits que tout autre nombre positif. Ils sont si petits qu'il suffit parfois de les mettre au carré pour obtenir zéro. Il y a des nombres qui ne satisfont pas la condition a × b = b × a. Il existe aussi des nombres infinis. Combien y a-t-il de nombres naturels ? Infiniment nombreux ? Oui, mais combien ? Comment cela peut-il être exprimé en nombre? Réponse : le plus petit des nombres infinis ; il est marqué d'une belle lettre : A et complété d'un indice zéro A₀ , aleph-zéro.

Il y a aussi des chiffres dont nous ignorons l'existence... ou que vous pouvez croire ou ne pas croire à votre guise. Et en parlant de choses comme ça : j'espère que vous aimez toujours Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.