Sentiers géométriques et bosquets

En écrivant cet article, je me suis souvenu d'une chanson très ancienne de Jan Pietrzak, qu'il chantait avant son activité satirique dans le cabaret Pod Egidą, reconnu en République Populaire de Pologne comme une soupape de sécurité ; on pourrait honnêtement rire des paradoxes du système. Dans cette chanson, l'auteur recommandait la participation politique socialiste, ridiculisant ceux qui veulent être apolitiques et éteignant la radio dans le journal. "Il vaut mieux retourner à l'école en lisant", chantait ironiquement Petshak, alors âgé de XNUMX ans.

Je retourne à l'école en lisant. Je relis (pas pour la première fois) le livre de Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Pour peu de lecteurs, le mot lui-même dit quelque chose. C'est le nom de la fille du célèbre mathématicien hindou connu sous le nom de Bhaskara (1114-1185), nommé Akaria, ou le sage qui a intitulé son livre sur l'algèbre avec ce nom. Lilavati devint plus tard elle-même une mathématicienne et philosophe renommée. Selon d'autres sources, c'est elle qui a écrit le livre elle-même.

Szczepan Yelensky a donné le même titre à son livre sur les mathématiques (première édition, 1926). Il peut même être difficile d'appeler ce livre un ouvrage mathématique - il s'agissait plutôt d'un ensemble d'énigmes, et en grande partie réécrit à partir de sources françaises (les droits d'auteur au sens moderne n'existaient pas). En tout cas, pendant de nombreuses années, ce fut le seul livre polonais populaire sur les mathématiques - plus tard, le deuxième livre de Jelensky, Pythagoras's Sweets, y fut ajouté. Ainsi, les jeunes intéressés par les mathématiques (ce qui est exactement ce que j'étais autrefois) n'avaient pas le choix...

par contre, "Lilavati" devait être connu presque par cœur... Ah, il y avait des moments... Leur plus grand avantage était que j'étais... un adolescent alors. Aujourd'hui, du point de vue d'un mathématicien bien éduqué, je regarde Lilavati d'une manière complètement différente - peut-être comme un grimpeur dans les virages du chemin vers Shpiglasova Pshelench. Ni l'un ni l'autre ne perd son charme ... Dans son style caractéristique, Shchepan Yelensky, qui professe les soi-disant idées nationales dans sa vie personnelle, écrit dans la préface:

Sans toucher à la description des caractéristiques nationales, je dirai que même après quatre-vingt-dix ans, les paroles de Yelensky sur les mathématiques n'ont pas perdu de leur pertinence. Les mathématiques vous apprennent à penser. C'est un fait. Pouvons-nous vous apprendre à penser autrement, plus simplement et plus joliment ? Peut-être. C'est juste que... on ne peut toujours pas. J'explique à mes élèves qui ne veulent pas faire de maths que c'est aussi un test d'intelligence. Si vous ne pouvez pas apprendre une théorie mathématique vraiment simple, alors... peut-être que vos capacités mentales sont pires que nous ne le souhaiterions tous les deux... ?

Signes dans le sable

Et voici la première histoire de "Lylavati" - une histoire décrite par le philosophe français Joseph de Maistre (1753-1821).

Un marin d'un navire naufragé a été jeté par les vagues sur un rivage vide, qu'il considérait comme inhabité. Soudain, dans le sable côtier, il vit la trace d'une figure géométrique dessinée devant quelqu'un. C'est alors qu'il s'est rendu compte que l'île n'est pas déserte !

Citant de Mestri, Yelensky écrit : figure géométriquec'eût été une expression muette pour le malheureux, naufragé, coïncidence, mais il lui montra d'un coup d'œil la proportion et le nombre, et cela annonçait un homme éclairé. Voilà pour l'histoire.

Notez qu'un marin provoquera la même réaction, par exemple, en dessinant la lettre K, ... et toute autre trace de la présence d'une personne. Ici la géométrie est idéalisée.

Cependant, l'astronome Camille Flammarion (1847-1925) a proposé que les civilisations se saluent à distance en utilisant la géométrie. Il y voyait la seule tentative correcte et possible de communication. Montrons à de tels martiens les triangles de Pythagore... ils nous répondront par Thales, nous leur répondrons par des motifs de Vieta, leur cercle s'intégrera dans un triangle, alors une amitié a commencé...

Des écrivains comme Jules Verne et Stanislav Lem sont revenus sur cette idée. Et en 1972, des tuiles aux motifs géométriques (et pas seulement) ont été placées à bord de la sonde Pioneer, qui traverse toujours les étendues de l'espace, désormais à près de 140 unités astronomiques de nous (1 I est la distance moyenne de la Terre à la Terre) . Soleil, soit environ 149 millions de km). La tuile a été conçue, en partie, par l'astronome Frank Drake, créateur de la règle controversée sur le nombre de civilisations extraterrestres.

La géométrie est incroyable. Nous connaissons tous le point de vue général sur l'origine de cette science. Nous (nous les humains) avons juste commencé à mesurer la terre (et plus tard la terre) pour les buts les plus utilitaires. Détermination des distances, tracer des lignes droites, tracer des angles droits et calculer des volumes deviennent progressivement une nécessité. D'où le tout géométrie ("Mesure de la terre"), d'où toutes les mathématiques ...

Cependant, pendant un certain temps, cette image claire de l'histoire des sciences nous a assombri. Car si les mathématiques étaient nécessaires uniquement à des fins opérationnelles, nous ne serions pas occupés à prouver des théorèmes simples. "Vous voyez que cela devrait être vrai du tout", dirait-on après avoir vérifié que dans plusieurs triangles rectangles la somme des carrés des hypoténuses est égale au carré de l'hypoténuse. Pourquoi un tel formalisme ?

La tarte aux prunes doit être délicieuse, le programme informatique doit fonctionner, la machine doit fonctionner. Si j'ai compté trente fois la capacité du baril et que tout est en ordre, alors pourquoi d'autre ?

Entre-temps, il est venu à l'esprit des anciens Grecs qu'il fallait trouver des preuves formelles.

Ainsi, les mathématiques commencent avec Thalès (625-547 av. J.-C.). On suppose que c'est Milet qui a commencé à se demander pourquoi. Il ne suffit pas aux gens intelligents d'avoir vu quelque chose, d'être convaincus de quelque chose. Ils ont vu le besoin de preuves, une séquence logique d'arguments allant de l'hypothèse à la thèse.

Ils en voulaient aussi plus. C'est probablement Thalès qui a tenté le premier d'expliquer les phénomènes physiques de manière naturaliste, sans intervention divine. La philosophie européenne a commencé avec la philosophie de la nature - avec ce qui est déjà derrière la physique (d'où le nom : métaphysique). Mais les fondations de l'ontologie européenne et de la philosophie naturelle ont été posées par les Pythagoriciens (Pythagore, vers 580-vers 500 av. J.-C.).

Il a fondé sa propre école à Crotone dans le sud de la péninsule des Apennins - aujourd'hui nous l'appellerions une secte. La science (au sens courant du terme), le mysticisme, la religion et la fantaisie sont étroitement liés. Thomas Mann a très bien présenté les leçons de mathématiques dans un gymnase allemand dans le roman Doctor Faustus. Traduit par Maria Kuretskaya et Witold Virpsha, ce fragment se lit comme suit :

Dans le livre intéressant de Charles van Doren, L'histoire de la connaissance de l'aube de l'histoire à nos jours, j'ai trouvé un point de vue très intéressant. Dans l'un des chapitres, l'auteur décrit la signification de l'école pythagoricienne. Le titre même du chapitre m'a frappé. Il se lit comme suit : "L'invention des mathématiques : les pythagoriciens".

Nous discutons souvent de savoir si des théories mathématiques sont découvertes (par exemple, des terres inconnues) ou inventées (par exemple, des machines qui n'existaient pas auparavant). Certains mathématiciens créatifs se voient comme des chercheurs, d'autres comme des inventeurs ou des concepteurs, moins souvent des compteurs.

Mais l'auteur de ce livre parle de l'invention des mathématiques en général.

De l'exagération à l'illusion

Après cette longue partie introductive, je passerai au tout début. géométriepour décrire comment une dépendance excessive à la géométrie peut induire un scientifique en erreur. Johannes Kepler est connu en physique et en astronomie comme le découvreur des trois lois du mouvement des corps célestes. Tout d'abord, chaque planète du système solaire se déplace autour du soleil sur une orbite elliptique, dont l'un des foyers est le soleil. Deuxièmement, à intervalles réguliers, le rayon directeur de la planète, tiré du Soleil, dessine des champs égaux. Troisièmement, le rapport du carré de la période de révolution d'une planète autour du Soleil au cube du demi-grand axe de son orbite (c'est-à-dire la distance moyenne du Soleil) est constant pour toutes les planètes du système solaire.

C'était peut-être la troisième loi - elle nécessitait beaucoup de données et de calculs pour l'établir, ce qui a incité Kepler à continuer à rechercher des modèles dans le mouvement et la position des planètes. L'histoire de sa nouvelle "découverte" est très instructive. Depuis l'Antiquité, on admire non seulement les polyèdres réguliers, mais aussi les arguments montrant qu'il n'y en a que cinq dans l'espace. Un polyèdre tridimensionnel est dit régulier si ses faces sont des polygones réguliers identiques et si chaque sommet a le même nombre d'arêtes. A titre d'illustration, chaque coin d'un polyèdre régulier devrait "se ressembler". Le polyèdre le plus célèbre est le cube. Tout le monde a vu une cheville ordinaire.

Le tétraèdre régulier est moins connu, et à l'école on l'appelle la pyramide triangulaire régulière. Il ressemble à une pyramide. Les trois autres polyèdres réguliers sont moins connus. Un octaèdre se forme lorsque nous connectons les centres des arêtes d'un cube. Le dodécaèdre et l'icosaèdre ressemblent déjà à des boules. Fabriqués à partir de cuir souple, ils seraient confortables à creuser. Le raisonnement selon lequel il n'y a pas de polyèdres réguliers autres que les cinq solides de Platon est très bon. Tout d'abord, nous réalisons que si le corps est régulier, alors le même nombre (let q) de polygones réguliers identiques doit converger à chaque sommet, que ce soit des p-angles. Maintenant, nous devons nous rappeler quel est l'angle dans un polygone régulier. Si quelqu'un ne se souvient pas de l'école, nous vous rappelons comment trouver le bon modèle. Nous avons fait un voyage au coin de la rue. A chaque sommet on tourne du même angle a. Lorsque nous faisons le tour du polygone et revenons au point de départ, nous avons fait p de tels virages, et au total nous avons tourné à 360 degrés.

Mais α est le complément de 180 degrés de l'angle que nous voulons calculer, et est donc

Nous avons trouvé la formule de l'angle (un mathématicien dirait : mesures d'un angle) d'un polygone régulier. Vérifions : dans le triangle p = 3, il n'y a pas de a

Comme ça. Lorsque p = 4 (carré), alors

degrés c'est bien aussi.

Qu'obtenons-nous pour un pentagone ? Alors que se passe-t-il quand il y a q polygones, chacun p ayant les mêmes angles

 degrés descendant à un sommet ? Si c'était sur un plan, alors un angle se formerait

degrés et ne peut pas être supérieur à 360 degrés - car alors les polygones se chevauchent.

Cependant, puisque ces polygones se rencontrent dans l'espace, l'angle doit être inférieur à l'angle complet.

Et voici l'inégalité dont tout découle :

Divisez-le par 180, multipliez les deux parties par p, ordonnez (p-2) (q-2) < 4. Que s'ensuit-il ? Soyons conscients que p et q doivent être des nombres naturels et que p > 2 (pourquoi ? Et qu'est-ce que p ?) et aussi q > 2. Il n'y a pas beaucoup de façons de rendre le produit de deux nombres naturels inférieur à 4. On Je vais tous les lister dans le tableau 1.

Je ne poste pas de dessins, tout le monde peut voir ces figures sur Internet... Sur Internet... Je ne refuserai pas une digression lyrique - c'est peut-être intéressant pour les jeunes lecteurs. En 1970, j'ai pris la parole lors d'un séminaire. Le sujet était difficile. J'avais peu de temps pour me préparer, je me suis assis le soir. L'article principal était en lecture seule en place. L'endroit était confortable, avec une atmosphère de travail, eh bien, il fermait à sept heures. Puis la mariée (maintenant ma femme) m'a proposé elle-même de réécrire tout l'article pour moi : une dizaine de pages imprimées. Je l'ai copié (non, pas avec une plume d'oie, nous avions même des stylos), la conférence a été un succès. Aujourd'hui j'ai essayé de retrouver cette publication, qui est déjà ancienne. Je ne retiens que le nom de l'auteur... Les recherches sur Internet ont duré longtemps... un quart d'heure. J'y pense avec un sourire narquois et un petit regret injustifié.

Nous retournons à Keplera en géométrie. Apparemment, Platon a prédit l'existence de la cinquième forme régulière parce qu'il lui manquait quelque chose d'unifiant, couvrant le monde entier. C'est peut-être pour cela qu'il a demandé à un étudiant (Theajtet) de la chercher. Tel qu'il était, tel était le cas, sur la base duquel le dodécaèdre a été découvert. Nous appelons cette attitude de Platon panthéisme. Tous les scientifiques, jusqu'à Newton, y ont succombé plus ou moins. Depuis le XVIIIe siècle très rationnel, son influence a drastiquement diminué, bien qu'il ne faille pas rougir d'y succomber tous d'une manière ou d'une autre.

Dans le concept de construction du système solaire de Kepler, tout était correct, les données expérimentales coïncidaient avec la théorie, la théorie était logiquement cohérente, très belle ... mais complètement fausse. A son époque, seules six planètes étaient connues : Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne. Pourquoi n'y a-t-il que six planètes ? Kepler a demandé. Et quelle régularité détermine leur distance au Soleil ? Il supposait que tout était lié, que géométrie et cosmogonie sont étroitement liés les uns aux autres. D'après les écrits des anciens Grecs, il savait qu'il n'y avait que cinq polyèdres réguliers. Il a vu qu'il y avait cinq vides entre les six orbites. Alors peut-être que chacun de ces espaces libres correspond à un polyèdre régulier ?

Après plusieurs années d'observation et de travail théorique, il crée la théorie suivante, à l'aide de laquelle il calcule assez précisément les dimensions des orbites, qu'il présente dans le livre "Mysterium Cosmographicum", publié en 1596 : Imaginez une sphère géante, dont le diamètre est le diamètre de l'orbite de Mercure dans son mouvement annuel autour du soleil. Imaginez ensuite que sur cette sphère il y a un octaèdre régulier, dessus une sphère, dessus un icosaèdre, dessus encore une sphère, dessus un dodécaèdre, dessus une autre sphère, dessus un tétraèdre, puis encore une sphère, un cube et, enfin, sur ce cube la balle est décrite.

Kepler a conclu que les diamètres de ces sphères successives étaient les diamètres des orbites des autres planètes : Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. La théorie semblait très précise. Malheureusement, cela a coïncidé avec les données expérimentales. Et quelle meilleure preuve de l'exactitude d'une théorie mathématique que sa correspondance avec des données expérimentales ou des données d'observation, en particulier "prises du ciel" ? Je résume ces calculs dans le tableau 2. Alors qu'a fait Kepler ? J'ai essayé et essayé jusqu'à ce que cela fonctionne, c'est-à-dire lorsque la configuration (ordre des sphères) et les calculs résultants coïncidaient avec les données d'observation. Voici les chiffres et les calculs modernes de Kepler :

On peut succomber à la fascination de la théorie et croire que les mesures dans le ciel sont inexactes, et non les calculs faits dans le silence de l'atelier. Malheureusement, nous savons aujourd'hui qu'il existe au moins neuf planètes et que toutes les coïncidences de résultats ne sont que des coïncidences. Dommage. C'était tellement beau...